Question

16．已知函數(shù)f（x）=x^-2，
（1）判斷該函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（2）判斷該函數(shù)在（-∞，0）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）先確定函數(shù)的定義域，再用奇偶性的定義證明函數(shù)為偶函數(shù)；
（2）先判斷函數(shù)在（-∞，0）上單調(diào)遞增，再用單調(diào)性的定義用作差比較法證明；

解答 解：（1）f（x）的定義域為：（-∞，0）∪（0，+∞），
且為偶函數(shù)，證明如下：
因為f（x）=x^-2=$\frac{1}{x^2}$，
所以f（-x）=$\frac{1}{（-x）^2}$=$\frac{1}{x^2}$，
即f（-x）=f（x），因此f（x）為定義域上的偶函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，證明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$
=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{2}+{x}_{1}）}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$，
因為，x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
所以，$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{2}+{x}_{1}）}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
所以，函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增．

點評 本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷和證明，函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，用到奇偶性和單調(diào)性的定義，作差比較法，屬于中檔題．