Question

已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且滿足f（x）+f（x-1）=1，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x²，現(xiàn)有四個命題：
①f（x）是周期函數(shù)；且周期為2；②當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）=2x-x²；③f（x）是偶函數(shù)；④f(-2004.5)=

3

4

其中正確命題是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)周期函數(shù)的定義及已知中f（x）+f（x-1）=1恒成立，可判斷①真假；根據(jù)f（x）+f（x-1）=1，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x²，可判斷②的真假；根據(jù)偶函數(shù)的定義及f（x）+f（x-1）=1，可以判斷③真假，根據(jù)①②的結(jié)論，可以判斷④真假．進(jìn)而得到答案．

解答：解：∵f（x）+f（x-1）=1，
∴f（x+2）+f（x+1）=1，即f（x+2）+[1-f（x）]=1
∴f（x+2）=f（x），故①f（x）是周期函數(shù)，且周期為2，正確；
當(dāng)x∈[1，2]時，x-1∈[0，1]
f（x-1）=1-f（x）=1-（x-1）²，
∴f（x）=2x-x²，故②正確；
當(dāng)x=

1

2

時，f（

1

2

）=

1

4

，f（-

1

2

）=f（

3

2

）=

3

4

由偶函數(shù)的定義，可得③錯誤；
f（-2004.5）=f（-

1

2

）=f（

3

2

）=

3

4

故④正確；
故答案為：①②④．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷和函數(shù)周期性的判斷，此題是道基礎(chǔ)題，比較簡單，熟練掌握奇偶性判斷的定義即可．