Question

已知：圓x²+y²=1過橢圓的兩焦點(diǎn)，與橢圓有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)：直線y=kx+m與圓x²+y²=1相切，與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)記．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求k的取值范圍；
（Ⅲ）求△OAB的面積S的取值范圍．

Answer 1

解；（Ⅰ）由題意知，橢圓的焦距2c=2∴c=1
又∵圓x²+y²=1與橢圓有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，∴b=1，∴a=
∴圓的方程為
（Ⅱ）∵直線y=kx+m與圓x²+y²=1相切，∴原點(diǎn)O到直線的距離=1，即m²=k²+1
把直線y=kx+m代入橢圓，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₁，y₂），則
=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=（1+k²）+m²-
∵，∴，解得，≤k²≤1
∴k的取值范圍是[-1，-]∪[，1]；
（Ⅲ）|AB|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（1+k²）（x₁-x₂）²
=（1+k²）[-4]=（1+k²）[-]
=（1+k²）=2-
S_△OAB²=|AB|²×1=（）
∵≤k²≤1，∴
∴，∴
即≤S_△OAB²=≤
∴≤S_△OAB≤
∴△OAB的面積S的取值范圍為[，]
分析：（Ⅰ）欲求橢圓的方程，只需求出a，b的值，因?yàn)閳Ax²+y²=1過橢圓的兩焦點(diǎn)，可求出a，因?yàn)閳Ax²+y²=1與橢圓有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，可求出b，橢圓的方程可知．
（Ⅱ）因?yàn)橹本�y=kx+m與圓x²+y²=1相切，可把m用k表示，再讓直線方程與橢圓方程聯(lián)立，把λ用k表示，根據(jù)λ的范圍，就可求出k的范圍．
（Ⅲ）因?yàn)椤鱋AB的面積S=|AB|•d，把|AB|用k表示，d=1，這樣，S就可用含k的式子表示了，再把（2）中求出的k的范圍代入，就可得到△OAB的面積S的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓方程的求法，以及橢圓與直線的位置關(guān)系的判斷．做題時(shí)要細(xì)心．