Question

（2013•成都模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1）．
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求b的取值范圍；
（Ⅱ）若b=-1，證明對于任意的n∈N₊，不等式

n

k=1

f(

1

k

)＜1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意，求導(dǎo)函數(shù)，要使f（x）在（-1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，只須在（-1，+∞）上f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，分類討論，分離參數(shù)，即可求b的取值范圍；
II）b=-1時，f（x）=x²-ln（x+1），構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-x³=x²-ln（x+1）-x³，證明g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜x³，即可證得結(jié)論．

解答：（I）解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′(x)=2x+

b

x+1

=

2x2+2x+b

x+1

(x＞-1)
要使f（x）在（-1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，只須在（-1，+∞）上f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，
若2x²+2x+b≥0，∴b≥-2(x+

1

2

)2+

1

2

在（-1，+∞）上t=-2(x+

1

2

)2+

1

2

有最大值

1

2

，∴只須b≥

1

2

，則f′（x）≥0
若2x²+2x+b≤0，∴b≤-2(x+

1

2

)2+

1

2

在（-1，+∞）上t=-2(x+

1

2

)2+

1

2

無最小值，故滿足f′（x）≤0的b不存在．
由上得出當b≥

1

2

時，f（x）在（-1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)．
（II）b=-1時，f（x）=x²-ln（x+1）．
設(shè)g（x）=f（x）-x³=x²-ln（x+1）-x³，g′（x）=-

3x3+(x-1)2

x+1

當x≥0時，g′（x）＜0，∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)
∴當x∈（0，+∞）時，g（x）＜g（0）=0，∴f（x）＜x³．
令x=

1

k

∈（0，+∞），則f(

1

k

)＜

1

k3

∴

n

k=1

f(

1

k

)＜1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

點評：本題以函數(shù)為載體，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，考查分類討論思想，屬于中檔題．