Question

7．如圖幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD=2．面EAD⊥面ABCD，面FCB⊥面ABCD，且CF⊥BC．
（1）證明：BD⊥AE；
（2）若△ADE是正三角形，點(diǎn)P為AF上的點(diǎn)，且PF=2PA，$CF=3\sqrt{3}$，證明：EP∥面ABCD．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理求出BD，AB，由勾股定理得AD⊥BD，由此能證明BD⊥AE．
（2）以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明EP∥面ABCD．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD=2，
∴BD=$\sqrt{4+4-2×2×2×cos120°}$=2$\sqrt{3}$，
cos60°=$\frac{4+A{B}^{2}-12}{4AB}$，整理，得AB²-2AB-8=0，
解得AB=4或AB=-2（舍），
∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD，
∵面EAD⊥面ABCD，∴BD⊥平面ADE，
又AE?平面ADE，∴BD⊥AE．
（2）∵四邊形ABCD是等腰梯形，AD⊥BD，∴AC⊥BC，
∵面FCB⊥面ABCD，且CF⊥BC，∴CF⊥平面ABCD，
∴以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵△ADE是正三角形，點(diǎn)P為AF上的點(diǎn)，且PF=2PA，$CF=3\sqrt{3}$，
∴E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$），P（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{EP}$=（$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，$\frac{1}{2}$，0），
又∵平面ABCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EP}$=0，∴EP∥面ABCD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查線面平行的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．