Question

命題p：方程x²-x+a²-6a=0有一正根和一負(fù)根．命題q：函數(shù)y=x²+（a-3）x+1的圖象與x軸有公共點(diǎn)．若命題“p或q”為真命題，而命題“p且q”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ________

Answer 1

a∈（-∝，0]∪（1，5）∪[6，+∝）
分析：根據(jù)命題“p或q”為真命題，而命題“p且q”為假命題，我們易判斷命題p與命題q一真一假，再由命題p：方程x²-x+a²-6a=0有一正根和一負(fù)根．命題q：函數(shù)y=x²+（a-3）x+1的圖象與x軸有公共點(diǎn)．我們根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）及二次函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法，得到命題p與命題q對(duì)應(yīng)的參數(shù)a的取值范圍，分類討論后，即可得到答案．
解答：由命題p：方程x²-x+a²-6a=0有一正根和一負(fù)根．
結(jié)合韋達(dá)定理，我們易得：
x₁x₂=a²-6a＜0
0＜a＜6；
由命題q：函數(shù)y=x²+（a-3）x+1的圖象與x軸有公共點(diǎn)．
即方程x²+（a-3）x+1=0有實(shí)數(shù)根，可得：
△=（a-3）²-4≥0，
∴a≥5或a≤1；
又∵命題“p或q”為真命題，而命題“p且q”為假命題，
∴命題p與命題q一真一假，
當(dāng)命題p真且命題q假時(shí)，a∈（1，5）；
當(dāng)命題q真且命題p假時(shí)，a∈（-∞，0]∪[6，+∞），
綜上所述：a∈（-∞，0]∪（1，5）∪[6，+∞）
故答案為：a∈（-∞，0]∪（1，5）∪[6，+∞）
點(diǎn)評(píng)：掌握簡(jiǎn)易邏輯的有關(guān)知識(shí)，學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，理解二次方程與二次函數(shù)之間的關(guān)系，一元二次方程有一正根和一負(fù)根的充要條件是二次函數(shù)的圖象與y軸相交于負(fù)半軸；而二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)的充要條件是二次方程有根，即△≥0．