已知函數(shù)f（x）=mx3+（ax-1）（x-2）（x∈R）的圖象在x=1處的切線與直線x+y=0平行．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）當(dāng)a≥0時(shí)，解關(guān)于x的不等式f（x）＜0．

解：（I）∵f （x）=mx3+ax2-（2a+1）x+2，∴f′（x）=3mx2+2ax-（2a+1）．
∴f'（1）=3m-1，
即函數(shù)f （x）的圖象在x=1處的切線斜率為3m-1．
∴由題知3m-1=-1，解得m=0．…（5分）
（II）由（I）知f （x）=（ax-1）（x-2）．
當(dāng)a=0時(shí)，f （x）=-（x-2）＞0，解得x＜2．…（7分）
當(dāng)a＞0時(shí)，方程f （x）=0的兩根為x2=，x2=2．
若＜2即a＞時(shí)，原不等式的解為＜x＜2；…（9分）
若=2即a=時(shí)，原不等式的解為∅；…（10分）
若＞2即a＜時(shí)，原不等式的解為2＜x＜．…（11分）
∴綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，原不等式的解集為{x|x＜2}；
當(dāng)0＜a＜時(shí)，原不等式的解集為{x|＜x＜2}；當(dāng)a=時(shí)，原不等式的解集為∅；
當(dāng)a＞時(shí)，原不等式的解集為{x|2＜x＜}．…（12分）
分析：（I）先對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，又根據(jù)f'（1）=3m-1，可得到關(guān)于m的值；
（II）由（I）知f （x）=（ax-1）（x-2）．下面對(duì)字母a的取值情況進(jìn)行分類討論：當(dāng)a=0時(shí)，f （x）=-（x-2）＞0，當(dāng)a＞0時(shí)，再分：若＜2；若=2；若＞2，分別求出原不等式的解集即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次不等式的解法的問題、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=m•2x+t的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，1）、B（2，3）及C（n，Sn），Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，n∈N*．
（1）求Sn及an；
（2）若數(shù)列{cn}滿足cn=6nan-n，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=m（x+
1
x
）的圖象與h（x）=（x+
1
x
）+2的圖象關(guān)于點(diǎn)A（0，1）對(duì)稱．
（1）求m的值；
（2）若g（x）=f（x）+
a
4x
在（0，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
m
•
n
，其中
m
=(sinωx+cosωx，
3
cosωx)，
n
=（cosωx-sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若f（x）相鄰兩對(duì)稱軸間的距離不小于
π
2
．
（Ⅰ）求ω的取值范圍；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，a=
3
，b+c=3，當(dāng)ω最大時(shí)，f（A）=1，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

以下兩題任選一題：（若兩題都作，按第一題評(píng)分）
（一）：在極坐標(biāo)系中，圓ρ=2cosθ的圓心到直線θ=
π
3
（ρ∈R）的距離
3
2
3
2
；
（二）：已知函數(shù)f（x）=m-|x-2|，m∈R，當(dāng)不等式f（x+2）≥0的解集為[-2，2]時(shí)，實(shí)數(shù)m的值為
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集為[-1，1]．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c∈R+，且
1
a
+
1
2b
+
1
3c
=m，求Z=a+2b+3c的最小值．

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