精英家教網(wǎng)如圖,ABCD是邊長為a的菱形,且∠BAD=60°,△PAD為正三角形,且面PAD⊥面ABCD.
(1)求cos<
AB
PD
>的值;
(2)若E為AB的中點,F(xiàn)為PD的中點,求|
EF
|的值;
(3)求二面角P-BC-D的大。
分析:選取AD中點O為原點,OB、AD、OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則A(0,-
a
2
,0),B(
3
2
a,0,0),P(0,0,
3
2
a),D(0,
a
2
,0).這種解法的好處就是:(1)解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關定理,因為這些可以用向量方法來解決.(2)即使立體感稍差一些的學生也可以順利解出,因為只需畫個草圖以建立坐標系和觀察有關點的位置即可.
(1)所以
AB
=(
3
2
a,
a
2
,0),
PD
=(0,
a
2
,-
3
2
a),則cos<
AB
,
PD
>=
1
4

(2)因為E、F分別為AB、PD的中點,所以E(
3
4
a,-
a
4
,0),F(xiàn)(0,
a
4
,
3
4
a).則|
EF
|=
10
4
a.
(3)因為面PAD⊥面ABCD,PO⊥AD,所以PO⊥面ABCD.因為BO⊥AD,AD∥BC,所以BO⊥BC.連接PB,則PB⊥BC,所以∠PBO為二面角P-BC-D的平面角.
解答:解:(1)選取AD中點O為原點,OB、AD、OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則A(0,-
a
2
,0),B(
3
2
a,0,0),P(0,0,
3
2
a),D(0,
a
2
,0).
AB
=(
3
2
a,
a
2
,0),
PD
=(0,
a
2
,-
3
2
a),
則cos<
AB
,
PD
>=
AB
PD
|
AB
||
PD
|
=
3
a
×0+
a
2
×
a
2
+0×(-
3
2
a)
(
3
2
a)
2
+(
a
2
)
2
+02
×
02+(
a
2
)
2
+(-
3
2
a)
2
=
1
4

(2)∵E、F分別為AB、PD的中點,
∴E(
3
4
a,-
a
4
,0),F(xiàn)(0,
a
4
,
3
4
a).
則|
EF
|=
(
3
4
a-0)
2
+(-
a
4
-
a
4
)
2
+(0-
3
4
a)
2
=
10
4
a.
(3)∵面PAD⊥面ABCD,PO⊥AD,
∴PO⊥面ABCD.
∵BO⊥AD,AD∥BC,∴BO⊥BC.
連接PB,則PB⊥BC,
∴∠PBO為二面角P-BC-D的平面角.
在Rt△PBO中,PO=
3
2
a,BO=
3
2
a,
∴tan∠PBO=
PO
BO
=
3
2
a
3
2
a
=1.則∠PBO=45°.
故二面角P-BC-D的大小為45°.
點評:本小題主要考查棱錐的結構特征,二面角和線面關系等基本知識,同時考查空間想象能力和推理、運算能力.
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,ABCD是邊長為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE與平面ABCD所成角為60°.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角F-BE-D的余弦值;
(Ⅲ)設點M是線段BD上一個動點,試確定點M的位置,使得AM∥平面BEF,并證明你的結論.

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23
,
(1)求證:OF⊥面FBC;
(2)求二面角B-OF-C的余弦值.

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(2012•寧城縣模擬)如圖,ABCD是邊長為1的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=2AF.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面BDE;
(Ⅱ)求點F到平面BDE的距離.

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如圖,ABCD是邊長為2的正方形紙片,沿某動直線l為折痕將正方形在其下方的部分向上翻折,使得每次翻折后點B都落在邊AD上,記為B';折痕與AB交于點E,以EB和EB’為鄰邊作平行四邊形EB’MB.若以B為原點,BC所在直線為x軸建立直角坐標系(如下圖):
(Ⅰ).求點M的軌跡方程;
(Ⅱ).若曲線S是由點M的軌跡及其關于邊AB對稱的曲線組成的,等腰梯形A1B1C1D1的三邊A1B1,B1C1,C1D1分別與曲線S切于點P,Q,R.求梯形A1B1C1D1面積的最小值.

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