Question

已知雙曲線（a＞0，b＞0）的上、下頂點分別為A、B，一個焦點為F（0，c）（c＞0），兩準線間的距離為1，
|AF|、|AB|、|BF|成等差數(shù)列，過F的直線交雙曲線上支于M、N兩點．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)，問在y軸上是否存在定點P，使⊥？若存在，求出所有這樣的定點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）依題意可分別表示出|AF|，AB和BF|，進而利用三者成等差數(shù)列建立等式求得a和c的關(guān)系，進而利用準線之間的距離求得a和c的另一關(guān)系式聯(lián)立求得a和c，則b可求，進而求得雙曲線的方程．
（Ⅱ）設(shè)出直線MN的方程，先看斜率為0時與雙曲線的方程聯(lián)立可求得M和N的坐標，求得λ進而可求得，進而利用和求得，推斷出y軸上所有的點都滿足條件；再看斜率不為0時，直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立，利用判別式大于0求得k的范圍，分別表示出，，和，進而表示出λ，然后表示出和利用二者的乘積為0求得關(guān)系式，把λ的表達式代入，整理求得m，即P的坐標，推斷出當MN不與x軸平行時，滿足條件的定點P的坐標為（0，）．
解答：解：（I）由已知|AF|=c-a，|AB|=2a，|BF|=c+a，
∴4a=（c-a）+（c+a），即c=2a．
又∵，于是可解得a=1，c=2，b²=c²-a²=3．
∴雙曲線方程為．
（II）設(shè)直線MN的方程為y=kx+2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（0，m）．
①當k=0時，MN的方程為y=2，
于是由可解得M（-3，2），N（3，2），于是λ=1．
∵A（0，1），B（0，-1），∴．
∵，，
∴
由-6×0+（-2）×0=0，知，
即對m∈R，恒成立，
∴此時y軸上所有的點都滿足條件．
②當k≠0時，MN的方程可整理為．
于是由消去x，并整理得（1-3k²）y²-4y+3k²+4=0．
∵△=（-4）²-4（1-3k²）（3k²+4）=9k⁴+9k²＞0，
，，
∴．
∵=（-x₁，2-y₁），=（-x₂，y₂-m），=（x₁，y₁-m），=（x₂，y₂-m），
∴-x₁=λx₂，2-y₁=λ（y₂-2），
∴．
又∵，，
∴0•（x₁-λx₂）+（-2）[y₁-m-λ（y₂-m）]=0，
把代入得，
整理得2y₁y₂-（2+m）（y₁+y₂）+4m=0，
代入得，化簡得6k²-12mk²=0，
∵k≠0，∴．
即P（0，）．
∴當MN與x軸平行時，y軸上所有的點都滿足條件；
當MN不與x軸平行時，滿足條件的定點P的坐標為（0，）．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生綜合分析問題和基本的運算能力．