Question

2．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a₂=3，a₃=5且（2n+1）S_n+1-（2n+5）S_n=An+B，n∈N^*，其中A，a為常數(shù)．
（1）求A，B的值；
（2）證明：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（3）數(shù)列{a_n}中是否存在兩項(xiàng)a_m，a_k（m，k∈N^*），使得a_k⁴-2a_k+22=a_m^2_，若存在，求出所有的k和m，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a₂=3，a₃=5且（2n+1）S_n+1-（2n+5）S_n=An+B，n∈N^*，分別取n=1，2，解出即可．
（2）由（1）可得：（2n+1）S_n+1-（2n+5）S_n=4n+1，化為（2n+1）a_n+1-4S_n=4n+1，當(dāng)n≥2時(shí)，（2n-1）a_n-4S_n-1=4n-3，相減可得：（2n+1）a_n+1-（2n+3）a_n=4，再利用遞推關(guān)系即可證明．
（3）由（2）可得：a_n=1+2（n-1）=2n-1．假設(shè)存在正整數(shù)k，m，使得a_k⁴-2a_k+22=a_m²成立，可得：（2k-1）⁴-2（2k-1）+22=（2m-1）²，由幾何畫板分別畫出y=x⁴-2x+22，y=x²的圖象，即可得出．

解答 （1）解：∵a₁=1，a₂=3，a₃=5且（2n+1）S_n+1-（2n+5）S_n=An+B，n∈N^*，
∴3×（1+3）-7=A+B，5×（1+3+5）-9×（1+3）=2A+B，
聯(lián)立解得A=4，B=1．
（2）證明：由（1）可得：（2n+1）S_n+1-（2n+5）S_n=4n+1，
∴（2n+1）a_n+1-4S_n=4n+1，
當(dāng)n≥2時(shí)，（2n-1）a_n-4S_n-1=4n-3，
相減可得：（2n+1）a_n+1-（2n+3）a_n=4，
∴（2n-1）a_n-（2n+1）a_n-1=4，
相減可得：（2n+1）a_n+1-（4n+2）a_n+（2n+1）a_n-1=0，
化為a_n+1+a_n-1=2a_n，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2．
（3）解：由（2）可得：a_n=1+2（n-1）=2n-1．
假設(shè)存在正整數(shù)k，m，使得a_k⁴-2a_k+22=a_m²成立，
∴（2k-1）⁴-2（2k-1）+22=（2m-1）²，
由幾何畫板分別畫出y=x⁴-2x+22，y=x²的圖象，可知：兩個(gè)圖象無交點(diǎn)，
因此假設(shè)不成立，即不存在正整數(shù)k，m，使得a_k⁴-2a_k+22=a_m²成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用、函數(shù)的圖象，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．