Question

4．若a∈（$\frac{1}{4}$，4），將函數f（x）=2^x-$\frac{a}{{2}^{x}}$的圖象向右平移2個單位后得曲線C₁，將函數y=g（x）的圖象向下平移2個單位后得曲線C₂，C₁與C₂關于x軸對稱，若F（x）=$\frac{f（x）}{a}+$g（x）的最小值為m，且m＞2+$\sqrt{7}$，則實數a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，2）．

Answer 1

分析 根據C₁推出C₂，由C₂推出g（x），再算出=（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{4}$）•2^x+$\frac{4a-1}{{2}^{x}}$+2，利用基本不等式即可求出實數a的取值范圍．

解答 解：∵將的圖象向右平移2個單位后得曲線C₁，
∴曲線C₁：p（x）=2^x-2-$\frac{a}{{2}^{x-2}}$，
∵曲線C₂，C₁與C₂關于x軸對稱，
∴曲線C₂：q（x）=$\frac{a}{{2}^{x-2}}$-2^x-2，
∵將函數y=g（x）的圖象向下平移2個單位后得曲線C₂，
∴g（x）=$\frac{a}{{2}^{x-2}}$-2^x-2+2，
∴F（x）=$\frac{f（x）}{a}$+g（x）=$\frac{{2}^{x}}{a}$-$\frac{1}{{2}^{x}}$+$\frac{a}{{2}^{x-2}}$-2^x-2+2=（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{4}$）•2^x+$\frac{4a-1}{{2}^{x}}$+2，
∵a∈（$\frac{1}{4}$，4），
∴$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{4}$＞0，4a-1＞0，
∵2^x＞0，
∴F（x）≥2$\sqrt{（\frac{1}{a}-\frac{1}{4}）•（4a-1）}$+2，
∵F（x）最小值為m且m＞2+$\sqrt{7}$，
∴m=2$\sqrt{（\frac{1}{a}-\frac{1}{4}）•（4a-1）}$+2＞2+$\sqrt{7}$，
解得：$\frac{1}{2}$＜a＜2．
綜上所述：實數a的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，2）．
故答案為：（$\frac{1}{2}$，2）．

點評 本題考查函數中參數的取值范圍的求法，涉及到函數圖象的對稱性、函數的單調性、函數的最值、均值定理等知識點，綜合性強，解題時要注意等價轉化思想的合理運用．