設(shè)橢圓C的中心在原點，焦點在y軸上，離心率為，其一個頂點的坐標(biāo)是（1，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若斜率為2的直線l過橢圓C在y軸正半軸上的焦點，且與該橢圓交于A、B兩點，求AB的中點坐標(biāo)．
【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用離心率為，其一個頂點的坐標(biāo)是（1，0），求出幾何量，即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線方程代入橢圓方程．利用韋達(dá)定理及中點坐標(biāo)公式，即可求得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其焦點為（0，±c）（2分）
由已知得 b2=1，，（6分）
又a2=b2+c2（8分）∴a2=2，c=1
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（9分）
（Ⅱ）直線l的方程為 y-1=2（x-0），即y=2x+1
設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為A（x1，y1）、B（x2，y2），
AB中點坐標(biāo)為M（x，y）
由得6x2+4x-1=0（12分）
∴，
∴AB中點坐標(biāo)為（15分）
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知對于任意實數(shù)k，直線(
3
k+1)x+(k-
3
)y-(3k+
3
)=0恒過定點F．設(shè)橢圓C的中心在原點，一個焦點為F，且橢圓C上的點到F的最大距離為2+
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)（m，n）是橢圓C上的任意一點，圓O：x2+y2=r2（r＞0）與橢圓C有4個相異公共點，試分別判斷圓O與直線l1：mx+ny=1和l2：mx+ny=4的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C的中心在原點，長軸在x軸上，長軸的長等于2
3
，離心率為
3
3
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓C的左、右頂點分別為A1，A2，點M是橢圓上異于A1，A2的任意一點，設(shè)直線MA1，MA2的斜率分別為kMA1，kMA2，證明kMA1•kMA2為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C的中心在原點，焦點在y軸上，離心率為
2
2
，其一個頂點的坐標(biāo)是（1，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若斜率為2的直線l過橢圓C在y軸正半軸上的焦點，且與該橢圓交于A、B兩點，求AB的中點坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年浙江省高二上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷 題型：解答題

（本題滿分15分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知對于任意實數(shù)，直線恒過定點F. 設(shè)橢圓C的中心在原點，一個焦點為F，且橢圓C上的點到F的最大距離為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)（m，n）是橢圓C上的任意一點，圓O：與橢圓C有4個相異公共點，試分別判斷圓O與直線l1：mx+ny=1和l2：mx+ny=4的位置關(guān)系.

 

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