已知函數(shù)m(x)=log4(4x+1)，n(x)=kx（k∈R）．
（1）當x＞0時，F(xiàn)（x）=m（x），且F（x）為R上的奇函數(shù)．求x＜0時，F(xiàn)（x）的表達式；
（2）若f（x）=m（x）+n（x）為偶函數(shù)，求k的值；
（3）對（2）中的函數(shù)f（x），設g(x)=log4(2x-1-
4
3
a)，若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，求實數(shù)a的取值范圍．
（1）∵x＞0時，F(xiàn)（x）=m（x）=log4(4x+1)，
∴當x＜0時，-x＞0，
∴F（-x）=log4(4-x+1)，又F（x）為R上的奇函數(shù)，
∴-F（x）=log4(4-x+1)，即F（x）=-log4(4-x+1)…（3分）
（2）∵函數(shù)f（x）=m（x）+n（x）=log4(4x+1)+kx為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx，…（5分）
而log4(4-x+1)=log4(4x+1)-log44x=log4(4x+1)-x，
∴-x-kx=kx恒成立，
∴2k+1=0，
∴k=-
1
2
…（7分）
（3）∵函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，
∴方程log4(4x+1)-
1
2
x=log4(2x-1-
4
3
a)有且只有一個實根，…（8分）
化簡得：方程2x+
1
2x
=2x-1-
4
3
a有且只有一個實根，…（9分）
令t=2x＞0，則方程
1
2
t2+
4
3
at+1=0有且只有一個正根，
①△=0?a=-
3
2
4
，
②若一個正根和一個負根，不滿足題意…（11分）
所以實數(shù)a的取值范圍為{a|a=-
3
2
4
}…（12分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
12
mx2-2x+1+ln(x+1)
（Ⅰ）當m＞0時，求函數(shù)的單調區(qū)間；
（Ⅱ）當m≥1時，曲線C：y=f（x）在點P（0，1）處的切線l與C有且只有一個公共點，求m的取值的集合M．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
ax
x2+b
，在x=1處取得極值2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）m滿足什么條件時，區(qū)間（m，2m+1）為函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間？
（Ⅲ）設直線l為曲線f(x)=
ax
x2+b
的切線，求直線l的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
ax
x2+b
在x=1處取得極值2．
（I） 求函數(shù)f（x）的表達式；
（II）若f（x）的定義域、值域均為[m，n]，（0≤m＜n）試求所有滿足條件的區(qū)間[m，n]；
（Ⅲ）若直線l與f(x)=
ax
x2+b
的圖象切于點P（x0，y0），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列命題：
①已知直線m，l，平面α，β，若m⊥β，l?α，α∥β，則m⊥l；
②
a
 •
b
＞0，是
a
，
b
的夾角為銳角的充要條件；
③若f（x）在R上滿足f（x-2）=-f（x），則f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；
④y=sin（2x+
π
3
）的圖象的一個對稱中心是（
π
3
，0）
以上命題正確的是
①③④
①③④
（注：把你認為正確的命題的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
12
x2-(3+m)x+3mlnx，m∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））為函數(shù)f（x）的圖象上任意不同兩點，若過A，B兩點的直線l的斜率恒大于-3，求m的取值范圍．

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