Question

17．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，G分別是棱CC₁，BC，CD的中點(diǎn)，求證：A₁G⊥平面DEF．

Answer 1

分析 連接D₁G，可證明D₁G⊥DE，根據(jù)三垂線定理，可證A₁G⊥DE，同理可證A₁G⊥DF，即可證明A₁G⊥平面DEF．

解答 證明：連接D₁G，∵E，G分別是棱CC₁，CD的中點(diǎn)，
∴∠DD₁G=30°，∠D₁DE=60°，可得：D₁G⊥DE，
∵D₁G是A₁G在面DD₁C₁C中的射影，
∴根據(jù)三垂線定理，則A₁G⊥DE，
連接AG，∵F，G分別是棱BC，CD的中點(diǎn)，
∴∠DAG=30°，∠ADF=60°，可得：AG⊥DF，
∵AG是A₁G在面ABCD中的射影，
∴根據(jù)三垂線定理，則A₁G⊥DF，
又∵DE∩DF=D，
∴A₁G⊥平面DEF．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，三垂線定理的應(yīng)用，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于基本知識(shí)的考查．