Question

對于數(shù)列{a_n}，若存在一個常數(shù)M，使得對任意的n∈N^*，都有|a_n|≤M，則稱{a_n}為有界數(shù)列．
（Ⅰ）判斷a_n=2+sinn是否為有界數(shù)列并說明理由．
（Ⅱ）是否存在正項等比數(shù)列{a_n}，使得{a_n}的前n項和S_n構成的數(shù)列{S_n}是有界數(shù)列？若存在，求數(shù)列{a_n}的公比q的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）判斷數(shù)列是否為有界數(shù)列，并證明．

Answer 1

解：（Ⅰ）1≤a_n=2+sinn≤3，
故{a_n}為有界數(shù)列…（2分）
（Ⅱ）設公比為q，當0＜q＜1時，，
則正數(shù)數(shù)列{S_n}滿足，即為有界數(shù)列；
當q=1時，S_n=na₁→+∞，故為無界數(shù)列；
當q＞1時，S_n=a₁+a₂+…+a_n＞na₁→+∞，此時為無界數(shù)列．
綜上：當且僅當0＜q＜1時，{S_n}為有界數(shù)列…（6分）．
（Ⅲ）{a_n}為無界數(shù)列，事實上
∴
∴=
∴
故當n無限增大時a_n也無限增大，
所以{a_n}無界…（12分）．
分析：（Ⅰ）求a_n=2+sinn的值域為1≤a_n=2+sinn≤3，根據(jù)有界數(shù)列的定義可以判斷；
（Ⅱ）對公比q進行討論，當0＜q＜1時，，易知正數(shù)數(shù)列{S_n}滿足，即為有界數(shù)列；當q=1時，S_n=na₁→+∞，故為無界數(shù)列；當q＞1時，S_n=a₁+a₂+…+a_n＞na₁→+∞，此時為無界數(shù)列，從而得結論．
（Ⅲ）{a_n}為無界數(shù)列，利用放縮法，轉換為利用等比數(shù)列求和可證．
點評：本題以數(shù)列為載體，考查新定義，關鍵是理解新定義，對等比數(shù)列應注意求和公式的使用條件．