Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB=BC=1，AA₁=2，D是AA₁的中點(diǎn)，E是B₁C的中點(diǎn)，
（1）證明：DE∥平面ABC
（2）求二面角C-B₁D-B的余弦值．

Answer 1

（1）證明：如圖，E是B₁C的中點(diǎn)，取為BC的中點(diǎn)G，連接EG，AG，ED，
在△BCB₁中，∵BG=GC，B₁E=EC，∴EG∥BB₁，且EG=BB₁，
又AD∥BB₁，且AD=BB₁，
∴EG∥AD，EG=AD，
∴四邊形ADEG為平行四邊形，∴DE∥AG，
又AG?平面ABC，DE?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．
（2）解：如圖，以B為原點(diǎn)，BC、BA、BB₁分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則B（0，0，0），C（1，0，0），A（0，1，0），
B₁（0，0，2），C₁（1，0，2），A₁（0，1，2），D（0，1，1），
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴B₁B⊥BC，
又AB⊥BC，AB∩BB1=B，∴BC⊥平面ABB₁D．
如圖，連接BD，
在△BB₁D中，∵BD=B₁D=2，BB₁=2，
∴BD²+B₁D²=BB₁²，即BD⊥B₁D，
∵BD是CD在平面ABB₁D內(nèi)的射影，
∴CD⊥B₁D，∴∠CDB為二面角C-B₁D-B的平面角．
∵DC=（1，-1，-1），DB=（0，-1，-1），
∴cos∠CDB===，
∴二面角C-B₁D-B的余弦值為．
分析：（1）取G為BC的中點(diǎn)，由E是B₁C的中點(diǎn)，知EG∥BB₁，且EG=BB₁，又AD∥BB₁，且AD=BB₁，故EG∥AD，EG=AD，所以四邊形ADEG為平行四邊形從而有DE∥AG，從而有DE∥平面ABC．
（2）由直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征，得到B₁B⊥BC，再由AB⊥BC，得到BC⊥平面ABB₁D．從而有BD⊥B1D，所以BD是CD在平面ABB₁D內(nèi)的射影，∠CDB為二面角C-B1D-B的平面角．由向量法能求出二面角C-B₁D-B的余弦值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，恰當(dāng)?shù)匾�入輔助線(xiàn)，合理地建立空間直角坐標(biāo)系，注意向量量的靈活運(yùn)用．