Question

設（1-x）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+a₃+a₄x⁴+a₅x⁵．求：
（1）a₁+a₂+a₃+a₄+a₅（的值；
（2）a₁+a₃+a₅的值；
（3）|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|+|a₅|的值．

Answer 1

分析：（1）令二項式中的x分別取0，1，然后將得到的兩個式子相減即得到a₁+a₂+a₃+a₄+a₅的值；
（2）令二項式中的x分別取1，-1，然后將得到的兩個式子相減即得到a₁+a₃+a₅的值；
（3）先利用二項展開式的通項公式求出通項，判斷出系數(shù)為負的項，將絕對值符號去掉，即可求出）|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|+|a₅|的值．

解答：解：（1）因為（1-x）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+a₃+a₄x⁴+a₅x⁵．
令x=0得a₀=1，
令x=1得0=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅．①
所以a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=0-1=-1
（2）令x=-1得
2⁵=a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅．②
①-②得
a₁+a₃+a₅=-16
（3）（1-x）⁵展開式的通項為T_r+1=（-1）^rC_n^rx^r
所以奇次項的系數(shù)為負，
所以|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|+|a₅|=-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅=2⁵-1=31

點評：解決二項展開式的系數(shù)和問題，一般先通過觀察，給二項式中的未知數(shù)賦合適的值，屬于中檔題．