Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足對任意實數(shù)m，n，總有f（m+n）=f（m）•f（n），且當x＞0時，0＜f（x）＜1．
（1）試求f（0）的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)A={（x，y）|f（x²）•f（y²）＞f（1）}，B={(x，y)|f(ax-y+

2

)=1，a∈R}，若A∩B=∅，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在f（m+n）=f（m）•f（n），令 m=n=0 可得f（0）=1．
（2）由f（m+n）=f（m）•f（n）可得 f（-x）=

1

f(x)

，故f（x）與f（-x）互為倒數(shù)，故函數(shù)f（x）＞0恒成立．再由 f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＜0，可得函數(shù) f（x）在R上是減函數(shù)．
（3）化簡A為 {（x，y）|x²+y²＜1 }，表示一個以原點為圓心、半徑等于1的圓面（不包含邊界）．化簡B為 {（x，y）|ax-y+

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=0 }，表示一條過點（0，

2

）的一條直線．根據(jù)圓和直線相切或相離，可得

|0-0+ 2 |

a2+1

≥1，由此解得a的范圍．

解答：解：（1）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足對任意實數(shù)m，n，總有f（m+n）=f（m）•f（n），令 m=n=0 可得 f（0）=f（0）f（0），
故有 f（0）=1．
（2）由f（m+n）=f（m）•f（n）可得 f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x）=1，∴f（-x）=

1

f(x)

，故f（x）與f（-x）互為倒數(shù)，故函數(shù)f（x）＞0恒成立．
設(shè) x₂＞x₁，則 x₂-x₁＞0，由題意可得  0＜f（x₂-x₁）＜1．
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）•f（x₁）-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＜0，
故函數(shù) f（x）在R上是減函數(shù)．
（3）A={（x，y）|f（x²）f（y²）＞f（1）}={（x，y）|f（x²+y²）＞f（1）}={（x，y）|x²+y²＜1 }，表示一個以原點為圓心、半徑等于1的圓面（不包含邊界）．
B={（x，y）|f（ax-y+

2

）=f（0）}={（x，y）|ax-y+

2

=0 }，表示一條過點（0，

2

）的一條直線．
若A∩B=∅，則圓和直線相切或相離，故有

|0-0+ 2 |

a2+1

≥1，解得-1≤a≤1．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．