Question

某家具廠生產(chǎn)一種兒童用組合床柜的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一組該組合床柜需要增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)：R(x)=

- 1 2 x2+400x(0≤x≤400) 80000(x＞400)

，其中x是組合床柜的月產(chǎn)量．
（1）將利潤y元表示為月產(chǎn)量x組的函數(shù)；
（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，該廠所獲得利潤最大？最大利潤是多少？（總收益=總成本+利潤）

Answer 1

分析：（1）求出月產(chǎn)量x組的成本，由利潤等于收益減去成本分段求出月產(chǎn)量x組的利潤；
（2）當(dāng)0≤x≤400時(shí)，利用配方法求最大值，當(dāng)x＞400時(shí)，由一次函數(shù)的單調(diào)性求最值，兩段最大值中的最大者為所求．

解答：解：（1）由題設(shè)，總成本為20000+100x，
由利潤等于總收益-成本得：
y=

- 1 2 x2+300x-20000，0≤x≤400 60000-100x，              x＞400

；
（2）當(dāng)0≤x≤400時(shí)，y=-

1

2

(x-300)2+25000，
當(dāng)x=300時(shí)，y_max=25000；
當(dāng)x＞400時(shí)，y=60000-100x是減函數(shù)，
則y＜60000-100×400=20000＜25000．
∴當(dāng)x=300時(shí)，有最大利潤25000元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查了利用配方法和函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，是中檔題．