Question

設b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù)，用隨機變量ξ表示方程x²+bx+c=0實根的個數(shù)（重根按一個計）．
（I）求方程x²+bx+c=0有實根的概率；
（II）求ξ的分布列和數(shù)學期望；
（III）求在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程x²+bx+c=0有實根的概率．

Answer 1

分析：（I）由題意知，本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的基本事件總數(shù)為6×6，滿足條件的事件是使方程有實根，則△=b²-4c≥0，對于c的取值進行列舉，得到事件數(shù)，根據(jù)概率公式得到結(jié)果．
（II）由題意知用隨機變量ξ表示方程x²+bx+c=0實根的個數(shù)得到ξ的可能取值0，1，2根據(jù)第一問做出的結(jié)果寫出變量對應的概率，寫出分布列和期望．
（III）在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程x²+bx+c=0有實根，這是一個條件概率，做出先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的概率和先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下且方程x²+bx+c=0有實根的概率，根據(jù)條件概率的公式得到結(jié)果．

解答：解：（I）由題意知，本題是一個等可能事件的概率，
試驗發(fā)生包含的基本事件總數(shù)為6×6=36，
滿足條件的事件是使方程有實根，則△=b²-4c≥0，即b≥2

c

．
下面針對于c的取值進行討論
當c=1時，b=2，3，4，5，6；
當c=2時，b=3，4，5，6；
當c=3時，b=4，5，6；
當c=4時，b=4，5，6；
當c=5時，b=5，6；
當c=6時，b=5，6，
目標事件個數(shù)為5+4+3+3+2+2=19，
因此方程x²+bx+c=0有實根的概率為

19

36

.

（II）由題意知用隨機變量ξ表示方程x²+bx+c=0實根的個數(shù)得到ξ=0，1，2
根據(jù)第一問做出的結(jié)果得到
則P(ξ=0)=

17

36

，P(ξ=1)=

2

36

=

1

18

，P(ξ=2)=

17

36

，
∴ξ的分布列為

∴ξ的數(shù)學期望Eξ=0×

17

36

+1×

1

18

+2×

17

36

=1.

（III）在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程x²+bx+c=0有實根，
這是一個條件概率，
記“先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5”為事件M，
“方程ax²+bx+c=0有實根”為事件N，
則P(M)=

11

36

，P(MN)=

7

36

，
∴P(N|M)=

P(MN)

P(M)

=

7

11

．

點評：本題考查等可能事件的概率，考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查條件概率，是一個綜合題，本題是一個中檔題，注意運算結(jié)果不要出錯．