(2009•盧灣區(qū)一模)將奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(即(0,0))對稱這一性質(zhì)進行拓廣,有下面的結(jié)論:
①函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)+f(a-x)=2b的充要條件是y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)成中心對稱.
②函數(shù)y=f(x)滿足F(x)=f(x+a)-f(a)為奇函數(shù)的充要條件是y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,f(a))成中心對稱(注:若a不屬于x的定義域時,則f(a)不存在).
利用上述結(jié)論完成下列各題:
(1)寫出函數(shù)f(x)=tanx的圖象的對稱中心的坐標(biāo),并加以證明.
(2)已知m(m≠-1)為實數(shù),試問函數(shù)f(x)=
x+m
x-1
的圖象是否關(guān)于某一點成中心對稱?若是,求出對稱中心的坐標(biāo)并說明理由;若不是,請說明理由.
(3)若函數(shù)f(x)=(x-
2
3
)(|x+t|+|x-3|)-4
的圖象關(guān)于點(
2
3
,f(
2
3
))
成中心對稱,求t的值.
分析:(1)根據(jù)正切函數(shù)圖象觀察出圖象的對稱中心的坐標(biāo)為(
2
,0)
再利用①進行證明.
(2)將函數(shù)f(x)=
x+m
x-1
化成f(x)=1+
m+1
x-1
,據(jù)其簡圖可知對稱中心的坐標(biāo)為(1,1).再利用②進行證明.
(3)若函數(shù)f(x)=(x-
2
3
)(|x+t|+|x-3|)-4
的圖象關(guān)于點(
2
3
,f(
2
3
))
成中心對稱,則)由結(jié)論②F(x)=f(x+
2
3
)-f(
2
3
)=x(|x+
2
3
+t|+|x-
7
3
|)
為奇函數(shù),從而轉(zhuǎn)化為h(x)=|x+
2
3
+t|+|x-
7
3
|
,求t的取值即可.
解答:解:(1)函數(shù)f(x)=tanx的圖象的對稱中心的坐標(biāo)為(
2
,0)
(k∈N*).    …(2分)
當(dāng)k=2n(n∈N*)時,tan(
2
+x)+tan(
2
-x)=tanx-tanx=0

當(dāng)k=2n+1(n∈N*)時,tan(
2
+x)+tan(
2
-x)=-cotx+cotx=0
,得證.                   …(6分)
(2)由f(x)=
x+m
x-1
=1+
m+1
x-1
,得f(x)的圖象的對稱中心的坐標(biāo)為(1,1).…(9分)f(x+1)+f(1-x)=
x+1+m
x+1-1
+
1-x+m
1-x-1
=
x+1+m
x
+
-x+1+m
-x
=2
,由結(jié)論①得,對實數(shù)m(m≠-1),函數(shù)f(x)=
x+m
x-1
的圖象關(guān)于點(1,1)成中心對稱.   …(12分)
(3)由結(jié)論②F(x)=f(x+
2
3
)-f(
2
3
)=x(|x+
2
3
+t|+|x-
7
3
|)
為奇函數(shù),…(14分)
其中g(shù)(x)=x為奇函數(shù),故h(x)=|x+
2
3
+t|+|x-
7
3
|
為偶函數(shù)
于是,由h(x)=h(-x)可得|x+
2
3
+t|+|x-
7
3
|=|x-(
2
3
+t)|+|x+
7
3
|
,…(16分)
因此,
2
3
+t=
7
3
,解得t=
5
3
為所求.                                 …(18分)
點評:本題考查閱讀理解、分析解決問題、轉(zhuǎn)化、計算的能力.用到的知識有三角函數(shù)圖象的對稱中心,分式函數(shù)的對稱中心,函數(shù)的奇偶性判斷.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式.
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