Question

已知函數(shù)f(x)=log

1

2

|x|

x2

．
（1）請(qǐng)寫出（不必證明）函數(shù)f（x）的定義域，奇偶性，單調(diào)性，值域，并畫出圖象；
（2）設(shè)任意的x₁＞0，x₂＞0，試猜測(cè)

1

2

[f(x1)+f(x2)]與f(

x1+x2

2

)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）先作出函數(shù)圖象，由函數(shù)解析式結(jié)合函數(shù)圖象給出函數(shù)f（x）的定義域，奇偶性，單調(diào)性，值域；
（2）由題意可猜測(cè)

1

2

[f(x1)+f(x2)]≤f(

x1+x2

2

)，將此兩代數(shù)式依據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)，得到

1

2

[f(x1)+f(x2)]=log2

x1x2

，f(

x1+x2

2

)=log2

x1+x2

2

觀察兩式發(fā)現(xiàn)可用基本不等式比較兩個(gè)真數(shù)的大小，從而證明出猜測(cè)的結(jié)論．

解答：解：（1）f(x)=log

1

2

|x|

x2

=

log2x，  (x＞0) log2(-x)，(x＜0)

定義域：（-∞，0）∪（0，+∞）；
奇偶性：偶函數(shù)；
單調(diào)性：函數(shù)f(x)=log

1

2

|x|

x2

在區(qū)間（-∞，0）上為減函數(shù)；
在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)；
值域：（-∞，+∞）；
圖象如右：-------------（6分）
（2）對(duì)任意的x₁＞0，x₂＞0，

1

2

[f(x1)+f(x2)]=log2

x1x2

，----------------（1分）
f(

x1+x2

2

)=log2

x1+x2

2

．-------------------------（1分）
因?yàn)?span id="u9pdw5n" class="MathJye">

x1+x2

2

≥

x1x2

，當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂時(shí)，等號(hào)成立，--------------------（2分）
由函數(shù)f（x）=log₂x是單調(diào)遞增函數(shù)，有

1

2

[f(x1)+f(x2)]≤f(

x1+x2

2

)．
當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂時(shí)，等號(hào)成立．（此結(jié)論猜出得2分）------------------------（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，基本不等式比較大小，解題的關(guān)鍵是熟練掌握對(duì)數(shù)的性質(zhì)及理解基本不等式，綜合運(yùn)用這些知識(shí)對(duì)猜測(cè)的結(jié)論進(jìn)行證明