Question

如圖，三棱S-ABC中，AB⊥BC，D、E分別為AC、BC的中點，SA=SB=SC．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面SDE
（Ⅱ）若AB=BC=2，SB=4，求三棱錐S-ABC的體積和表面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)線面垂直的判定定理，證明BC⊥平面SDE
（Ⅱ）分別求出三棱錐的高和相應(yīng)的邊長，利用體積公式求體積即可．

解答：解：（Ⅰ）∵D、E分別為AC、BC的中點，
∴DE∥AB，
∵AB⊥BC，
∴DE⊥BC，
∵SB=SC，E是BC的中點，
∴SE⊥BC，
又SE∩DE=E，
∴BC⊥平面SDE．
（Ⅱ）在直角三角形ABC中，AB⊥BC，AB=BC=2，
D為三角形ABC外接圓的圓心，
∵SA=SB=SC．
∴S在底面ABC的射影為三角形ABC外接圓的圓心，
即SD⊥平面ABC．
即SD是三棱錐的高．
∵AB=BC=2，SB=4，
∴AC=2

2

，AD=

2

，
∴SD=

SA2-AD2

=

42-2

=

14

．
∴三棱錐S-ABC的體積為

1

3

×

1

2

×2×2×

14

=

2 14

3

．
∵SD⊥平面ABC．SA=SB=SC，
∴根據(jù)三棱錐的對稱性可知，三角形SBC和SAB的面積相等，
∵SC=4，CE=

1

2

BC=

1

2

×2=1，
∴SE=

42-1

=

15

，
∴S△SBC=S△SAB=

1

2

×2×

15

=

15

，
S △ABC=

1

2

×2×2=2，S_△SAC=

1

2

×2

2

×

14

=2

7

，
∴棱錐S-ABC的表面積為

15

+

15

+2+2

7

=2+2

15

+2

17

．

點評：本題主要考查線面垂直的判斷，以及三棱錐的體積和表面積的計算，考查學(xué)生的運算和推理能力．