如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝a，D，E分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，M為棱AA1上的點(diǎn)，二面角M－DE－A為30°．

(Ⅰ)證明：A1B1⊥C1D；

(Ⅱ)求MA的長，并求點(diǎn)C到平面MDE的距離．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)證明：連結(jié)CD．

　　∵三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱．

　　∴CC1⊥平面ABC，

　　∴CD為C1D在平面ABC內(nèi)的射影．

　　∵△ABC中，AC＝BC，D為AB中點(diǎn)．

　　∴AB⊥CD，

　　∴AB⊥C1D．

　　∵A1B1∥AB，

　　∴A1B1⊥C1D．……4分

　　(Ⅱ)解法一：過點(diǎn)A作CE的平行線，交ED的延長線于F，連結(jié)MF．

　　∵D、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，

　　∴DE∥AC．

　　又∵AF∥CE，CE⊥AC，

　　∴AF⊥DE．

　　∵M(jìn)A⊥平面ABC，

　　∴AF為MF在平面ABC內(nèi)的射影，

　　∴MF⊥DE，

　　∴∠MFA為二面角M－DE－A的平面角，∠MFA＝30°，在Rt△MAF中，∠MFA＝30°，

　　∴．……8分

　　作AG⊥MF，垂足為G．

　　∵M(jìn)F⊥DE，AF⊥DE，

　　∴DE⊥平面AMF，

　　∴平面MDE⊥平面AMF，

　　∴AG⊥平面MDE．

　　在Rt△GAF中，∠GFA＝30°，AF＝．

　　∴AG＝，即A到平面MDE的距離為．

　　∵CA∥DE，∴CA∥平面MDE．

　　∴C到平面MDE的距離與A到平面MDE的距離相等，為．……12分

　　解法二：過點(diǎn)A作CE的平行線，交ED的延長線于F，連結(jié)MF．

　　∵D、E分別為AB、CB的中點(diǎn)，

　　∴DE∥AC，

　　又∵AF∥CE，CE⊥AC，

　　∴AF⊥DE．

　　∵M(jìn)A⊥平面ABC．

　　∴AF為MF在平面ABC內(nèi)的射影，

　　∴MF⊥DE．

　　∴∠MFA為二面角M－DE－A的平面角，∠MFA＝30°．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；　

(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離．

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 (本小題共l2分)

    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一[來源:]

P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；   

(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離．

 

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P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；   

(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離．

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：四川省高考真題 題型：解答題

如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中，∠ BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上一點(diǎn)，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA。
（I）求證：CD=C1D；
（II）求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；
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(I)求證：CD=C1D：

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(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離．

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