Question

已知數(shù)列，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求證數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

解：（1）∵a₁=3，a_n+1=2a_n-1，
∴a_n+1-1=2（a_n-1），
∴{a_n-1}是以a₁-1=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．（4分）
（2）由（1）知：∴a_n-1=2•2^n-1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ+1 （8分）
（3）由題意及（2）得，（8分）
∴=（13分）
分析：（1）由a_n+1=2a_n-1進(jìn)行變形即得a_n+1-1=2（a_n-1），由此形式即可判斷出數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式，可以根據(jù)（1）的結(jié)論先求出a_n-1，解方程即得{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．先求{b_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)其形式發(fā)現(xiàn)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n可用累加法求得．
點(diǎn)評(píng)：本題考查證明數(shù)列的等比的性質(zhì)，利用等比數(shù)列的求和公式求和，及根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)形式選擇合適的方法求和，本題是數(shù)列中有一定綜合性的題目．在第一問(wèn)及第三問(wèn)中對(duì)觀察變形的能力要求較高，做題時(shí)用心體會(huì)一下．