Question

例

已知二次函數(shù)f(x)對任意x∈R，都有f(1－x)=f(1＋x)成立，設(shè)向量=(sinx,2)，=(2sin,x)，=(cos2x,1)，=(1,2)，當(dāng)x∈[0,π]時，求不等式f(·)＞f(·)的解集.

Answer 1

當(dāng)m＞0時，為{x|＜x＜；當(dāng)m<0時，為{x|0≤x＜或＜x＜π。

解析:

【易錯點(diǎn)分析】易忽視二次函數(shù)的開口方向的討論和三角、向量、函數(shù)三者的綜合程度不夠。

解析：設(shè)f(x)的二次項系數(shù)為m，其圖象上的兩點(diǎn)為A(1－x,y₁)、B(1＋x,y₂)，因為=1，f(1－x)=f(1＋x)，所以y₁=y₂由x的任意性得f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，若m＞0，則x≥1時，f(x)是增函數(shù)；若m＜0，則x≥1時，f(x)是減函數(shù)�！摺�=（sinx，2）·（2sinx,）=2sin²x＋1≥1，·=（cos2x，1）·(1,2)=cos2x＋2≥1∴當(dāng)m＞0時，f(·)＞f(·)f(2sin²x＋1)＞f(cos2x＋2)2sin²x＋1＞cos2x＋21－cos2x＋1＞cos2x＋2cos2x＜02kπ＋＜2x＜2kπ＋,k∈zkπ＋＜x＜kπ＋,k∈z∵0≤x≤π ∴＜x＜當(dāng)m＜0時，同理可得0≤x＜或＜x≤π綜上所述，不等式f(·)＞f(·)的解集是：當(dāng)m＞0時，為{x|＜x＜；當(dāng)m<0時，為{x|0≤x＜或＜x＜π。