Question

如圖，P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA⊥AB，PA⊥AD，點(diǎn)Q是PA的中點(diǎn)，PA=4，AB=2．
（1）求證：PC⊥BD；
（2）求點(diǎn)Q到BD的距離．

Answer 1

解：（1）連接AC
∵PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD=A
∴PA⊥平面ABCD
∴AC為斜線(xiàn)PC在平面ABCD內(nèi)的射影
∵ABCD是正方形
∴AC⊥BD（4分）
∴PC⊥BD（6分）
（2）設(shè)AC∩BD=O，連接OQ
∵Q為PA中點(diǎn)，O為AC中點(diǎn)
∴OQ∥PC
∵PC⊥BD
∴OQ⊥BD
∴OQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)Q到BD的距離（9分）
∵AB=2，PA=4
∴
∴，QA=2
∴
即點(diǎn)Q到BD的距離為（12分）
分析：（1）由題意及圖知，可先證PC在面ABCD內(nèi)的射影與BD垂直，再由三垂線(xiàn)定理得出PC⊥BD；
（2）由圖及題設(shè)條件，可先證出點(diǎn)Q到BD的距離即是QO，再由Q，O是中點(diǎn)求出線(xiàn)段QA與OA的長(zhǎng)度，在直角三角形QAO中用勾股定理求出OQ的長(zhǎng)，即得點(diǎn)Q到線(xiàn)BD的距離
點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是點(diǎn)、線(xiàn)、面間距離的計(jì)算，考查了三垂線(xiàn)定理，點(diǎn)線(xiàn)距離的求法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三垂線(xiàn)定理及理解點(diǎn)到線(xiàn)的距離的幾何意義，本題考查了根據(jù)圖形進(jìn)行判斷的能力，是立體幾何中的基礎(chǔ)題型，可用來(lái)訓(xùn)練對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解及基本方法的培養(yǎng)．