Question

如圖，已知AB是圓柱OO₁底面圓O的直徑，底面半徑R=1，圓柱的表面積為8π；點(diǎn)C在底面圓O上，且∠AOC=120°．
（1）求三棱錐A-A₁CB的體積；
（2）求異面直線A₁B與OC所成的角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間角

分析：（1）由題意圓柱OO₁的表面積為8π，OA=1，∠AOC=120°建立關(guān)于圓柱高的方程求出AA₁=3，即得棱錐的高，再由∠AOP=120°解出解出底面積，再棱錐的體積公式求體積即可．
（2）取AA₁中點(diǎn)Q，連接OQ，CQ，可得∠COQ或它的補(bǔ)角為異面直線A₁B與OC所成的角，在三角形COQ中求異面直線所成的角即可．

解答： 解：（1）設(shè)AA₁=h，∵底面半徑R=1，圓柱的表面積為8π，
∴2π×1²+2πh=8π，解得h=3．
∵點(diǎn)C在底面圓O上，且∠AOC=120°，AB是圓柱OO₁底面圓O的直徑，
∴AB=2，BC=1，AC=

3

，∠ACB=90°，
∴S△ACB=

1

2

×2×

3

=

3

，
∴三棱錐A-A₁CB的體積V=

1

3

×h×S△ACB=

3

．
（2）取AA₁中點(diǎn)Q，連接OQ，CQ，則OQ∥A₁B，
得∠COQ或它的補(bǔ)角為異面直線A₁B與OC所成的角．
又AC=

3

，AQ=

1

2

AA1=

3

2

，得OQ=

1

2

A1B=

1

2

9+4

=

13

2

，
CQ=

9 4 +3

=

21

2

，OC=1，
由余弦定理得cos∠COQ=

CO2+OQ2-CQ2

2CO•OQ

=

1+ 13 4 - 21 4

2×1× 13 2

=-

13

13

，
∴異面直線A₁B與OP所成的角為arccos

13

13

．

點(diǎn)評：本題考查了求三棱錐的體積與求兩異面直線所成的角，在圓柱這一背景下，考查這兩個(gè)問題方式比較新穎，解答本題關(guān)鍵是正確理解這些幾何圖形之間的位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化．