已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到上焦點(diǎn)的距離為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)Q（-1，0）作直線l與橢圓C相較于A，B兩點(diǎn)，直線m是過(guò)點(diǎn)(-
4
17
，0)且與y軸平行的直線，設(shè)N是直線m上的一動(dòng)點(diǎn)，滿足
ON
=
OA
+
OB
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），問是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）利用橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到上焦點(diǎn)的距離為2，建立方程組，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（2）設(shè)出直線l的方程，y=k（x+2）代入橢圓方程，根據(jù)根的判別式，x1+x2=-
4k2
4+k2
=-
4
17
，即可得出結(jié)論．
解答： 解：（1）∵橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到上焦點(diǎn)的距離為2，
∴
c
a
=
3
2
a2=b2+c2=4
，∴a=2，b=1，
∴橢圓C的方程為
y2
4
+x2=1；
（2）由已知可得m：x=-
4
17
，
設(shè)N（-
4
17
，t），直線l：y=k（x+2），A（x1，y1），B（x2，y2），
直線l：y=k（x+2）代入橢圓方程，可得（4+k2）x2+4k2x+4k2-4=0，
△＞0，可得-
2
2
3
＜k＜
2
2
3
，
x1+x2=-
4k2
4+k2
=-
4
17
，
∴k=±
1
2
，
此時(shí)
OA
•
OB
=0，
∴存在這樣的直線l：y=±
1
2
（x+2），使得四邊形OANB為矩形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的綜合運(yùn)用以及軌跡方程的應(yīng)用，通過(guò)對(duì)圓錐曲線知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查學(xué)生的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)A={x|-4≤x＜2}，B={x|-2≤x＜3}，C={x|x≤0或x≥
5
2
}，求：
（1）A∩B；   
（2）A∪B；  
（3）（A∪B）∩C．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

將甲乙兩人在內(nèi)的7名醫(yī)生分成三個(gè)醫(yī)療小組，一組3人，令甲乙在同一組的分法有（　　）
A、80種B、90種
C、25種D、120種

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知集合A={f（x）|f（x）=x，x∈[1，5]}與集合B={g(x)|g(x)=
x
2
+1，x∈[1，5]}，設(shè)函數(shù)y=max{f（x），g（x）}（即取f（x），g（x）中較大者）．
（1）將y表示為x的函數(shù)；
（2）現(xiàn)從[1，5]中隨之取出一個(gè)數(shù)x，在y=max{f（x），g（x）}的映射下，求y∈[
5
3
，3]的概率；
（3）（理）對(duì)于函數(shù)y=max{f（x），g（x）}x∈[1，5]，定義Y=[y]是對(duì)實(shí)數(shù)y取整數(shù)，（如[2.3]=3，[3]=3），求Y的數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)平面內(nèi)直線l1上的點(diǎn)的集合為L(zhǎng)1，直線l2上的點(diǎn)的集合為L(zhǎng)2，試用集合的運(yùn)算表示l1，l2的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖為喜宴中的一個(gè)形如正三棱錐的四層香檳臺(tái)，搭建香檳塔時(shí)，先用10個(gè)香檳杯搭出一個(gè)等邊三角形形狀作為底層，然后三個(gè)香檳杯上疊一個(gè)香檳杯，向上搭建．若由上而下，把每一層的香檳杯數(shù)量組成數(shù)列{an}．
（1）觀察圖中的變化規(guī)律，若如上方式搭建一個(gè)n層的香檳臺(tái)，則最底層香檳杯數(shù)量an應(yīng)為多少？
（2）記bn=2 
2an
n+1
，求b1，b2，b3；
（3）判斷數(shù)列{bn}是什么數(shù)列？并求b1+b2+b3+…+b10的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=sin（2x+θ）+
3
cos（2x+θ），（|θ|＜
π
2
）的圖象關(guān)于點(diǎn)(
π
6
，0)對(duì)稱，則f（x）的增區(qū)間（　�。�
A、[
π
3
+kπ，
5π
6
+kπ]，k∈Z
B、[-
π
6
+kπ，
π
3
+kπ]，k∈Z
C、[-
π
12
+kπ，
5π
12
+kπ]，k∈Z
D、[-
7π
12
+kπ，-
π
12
+kπ]，k∈Z

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

化簡(jiǎn)下列各式：
（1）
a3
5b2
•
3
5b3
4a3
；
（2）(1-a)[(a-1)-2(-a)
1
2
]
1
2
；
（3）
(
3a2b
)2•
a
b
4ab3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

平面直角坐標(biāo)系中，三角形ABC頂點(diǎn)分別為A（a，0），B（0，b），C（0，c），點(diǎn)D（d，0）在線段OA上（異于端點(diǎn)），設(shè)a，b，c，d均為非零實(shí)數(shù)，直線BD交AC于點(diǎn)E，則OE所在的直線的方程為
 
．

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