Question

已知函數(shù)f（x）=

2x+3

x-1

（1）求函數(shù)f（x）的定義域
（2）求函數(shù)f（x）的值域
（3）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用分式函數(shù)的意義求函數(shù)的定義域．
（2）利用分母常數(shù)化求函數(shù)的值域．
（3）利用函數(shù)的平移關(guān)系求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）要使函數(shù)有意義，則x-1≠0，即x≠1，
∴函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≠1}．
（2）f（x）=

2x+3

x-1

=

2(x-1)+5

x-1

=2+

5

x-1

，
∵

5

x-1

≠0，∴2+

5

x-1

≠2，
所以函數(shù)值域?yàn)閧y|y≠2}．
（3）f（x）=

2x+3

x-1

=

2(x-1)+5

x-1

=2+

5

x-1

，
函數(shù)y=

5

x

的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0）和（0，+∞），將函數(shù)y=

5

x

向右平移1個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位，
得到函數(shù)f（x）=2+

5

x-1

的圖象，此時(shí)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，1）和（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分式函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用分母常數(shù)化是解決分式函數(shù)單調(diào)性和求值域的基本方法．