Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B的大��；
（2）設(shè)

m

=(cosA，cos2A)，

n

=(-

12

5

 ， 1)，且

m

•

n

取最小值時(shí)，求tan(A-

π

4

)值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理把題設(shè)等式中的邊換成角的正弦，進(jìn)而利用兩角和公式化簡(jiǎn)整理求得cosB的值，進(jìn)而求得B．
（2）根據(jù)向量的運(yùn)算法則，表示出

m

•

n

，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得當(dāng)cosA為

4

5

時(shí)，

m

•

n

最小，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得tanA的值．

解答：解：（1）∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC．．
∴2sinA•cosB-sinC•cosB=sinBcosC
化為：2sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC
∴2sinA•cosB=sin（B+C）
∵在△ABC中，sin（B+C）=sinA
∴2sinA•cosB=sinA，得：cosB=

1

2

，
∴B=

π

3

（2）∵

m

•

n

=-

12

5

cosA+cos2A，
∴

m

•

n

=-

12

5

cosA+2cos2A-1，
∴

m

•

n

=2(cosA-

3

5

)2-

43

25

，
得到：當(dāng)cosA=

3

5

時(shí)，

m

•

n

取最小值
∴sinA=

4

5

，∴tanA=

4

3

∴tan(A-

π

4

)=

tanA-1

1+tanA

=

4 3 -1

1+ 4 3

=

1

7

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，向量的基本運(yùn)算，正切的兩角和公式．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．