Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+2ax+c，且f（1）=-1．
（1）當(dāng)f（0）=-4時，求函數(shù)f（x）在x∈[2，+∞）的最小值；
（2）若對于任意的x∈[a，a+2]，f（x）＞-1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=-1和f（0）=-4，列出關(guān)于a和c的方程組，求出a=1，c=-4，即得f（x）=x²+2x-4，對稱軸為x=-1，所以函數(shù)f（x）在[2，+∞）單調(diào)遞增，即可得f（x）的最小值．
（2）根據(jù)f（1）=-1可得c=-2-2a，可得f（x）=x²+2ax-2-2a，對于任意的x∈[a，a+2]，f（x）＞-1恒成立，即求f（x）_min＞-1．根據(jù)對稱區(qū)間軸為x=-a與[a，a+2]的位置關(guān)系，分類討論求出f（x）_min，進(jìn)而求得實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（1）=-1且f（0）=-4，
∴1+2a+c=-1且c=-4，
∴a=1，c=-4，
∴f（x）=x²+2x-4，可得f（x）的對稱軸為x=-1，
∴函數(shù)f（x）在[2，+∞）單調(diào)遞增，
∴f（x）的最小值為f（2）=4．
（2）∵f（1）=-1，
∴c=-2-2a，可得f（x）=x²+2ax-2-2a，對稱軸為x=-a，
∵對于任意的x∈[a，a+2]，f（x）＞-1恒成立，即求f（x）_min＞-1，
①當(dāng)-a≤a，即a≥0時，對稱軸在[a，a+2]的左側(cè)，
∴f（x）在[a，a+2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（a）=3a²-2a-2＞-1，即3a²-2a-1＞0解得，a＜-

1

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或a＞1，
∴a＞1．
②當(dāng)a＜-a＜a+2，即-1＜a＜0時，對稱軸在[a，a+2]的中間，
∴f（x）_min=f（-a）=-a²-2a-2＞-1，即（a+1）²＜0，
∴a無解．
③當(dāng)-a≥a+2，即a≤-1時，對稱軸在[a，a+2]的右側(cè)，
∴f（x）在[a，a+2]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（a+2）=3a²+6a+2＞-1，即a²+2a+1＞0，解得a≠-1，
∴a＜-1．
綜上可得，a＜-1或a＞1
實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1）∪（1，+∞）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，重點考查了二次函數(shù)最值的求解，二次函數(shù)的最值要考慮開口方向和對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，運用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決此類問題．屬于中檔題．