Question

設(shè)P是直線l：2x+y+9=0上的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓x²+y²=9的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，則直線AB恒過(guò)定點(diǎn)

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程,恒過(guò)定點(diǎn)的直線

專(zhuān)題：直線與圓

分析：根據(jù)題意設(shè)P的坐標(biāo)為（m，-2m-9），由切線的性質(zhì)得點(diǎn)A、B在以O(shè)P為直徑的圓C上，求出圓C的方程，將兩個(gè)圓的方程相減求出公共弦AB所在的直線方程，再求出直線AB過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)．

解答： 解：因?yàn)镻是直線l：2x+y+9=0上的任一點(diǎn)，所以設(shè)P（m，-2m-9），
因?yàn)閳Ax²+y²=9的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，
所以O(shè)A⊥PA，OB⊥PB，
則點(diǎn)A、B在以O(shè)P為直徑的圓上，即AB是圓O和圓C的公共弦，
則圓心C的坐標(biāo)是（

m

2

，-

2m+9

2

），且半徑的平方是r²=

m2+(2m+9)2

4

，
所以圓C的方程是(x-

m

2

)2+(y+

2m+9

2

)2=

m2+(2m+9)2

4

，①
又x²+y²=9，②，
②-①得，mx-（2m+9）y-9=0，即公共弦AB所在的直線方程是：mx-（2m+9）y-9=0，
即m（x-2y）-（9y+9）=0，
由

x-2y=0 9y+9=0

得，

x=-2 y=-1

，
所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（-2，-1），
故答案為：（-2，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，圓和圓的位置關(guān)系，圓的切線性質(zhì)，以及直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題．