Question

【題目】數(shù)列{an}定義為a1＞0，a11=a，an+1=an+ an2 ， n∈N*
（1）若a1= （a＞0），求 + +…+ 的值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，定義數(shù)列{bn}，b1=ak（k≥12），bn+1=﹣1+ ，是否存在正整數(shù)i，j（i≤j），使得bi+bj=a+ a2+ ﹣1．如果存在，求出一組（i，j），如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

∴ ，

∴ ，

故 ，

∴ ；

（2）由 得 ，

兩邊平方得

故 ，

當(dāng)b1=ak時(shí)，由 知 ，

又 ，數(shù)列{an}遞增，

故b2=ak﹣1，

類似地，b3=ak﹣2，…，bt=ak﹣t+1，

又 ， ， ，

bi+bj=a10+a12，

∴ak﹣i+1+ak﹣j+1=a10+a12，

存在正整數(shù)i，j（i≤j），k﹣i+1=12，k﹣j+1=10i=k﹣11，j=k﹣9，

存在一組（i，j）=（k﹣11，k﹣9）．

【解析】（1）化簡遞推公式利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和。（2）由已知遞推關(guān)系可得到=,而故代入可推出b2=ak﹣1，從而可得b3=ak﹣2，…，bt=ak﹣t+1，進(jìn)而可得ak﹣i+1+ak﹣j+1=a10+a12 即得出結(jié)論。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．