（13分）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，AC與BD交于點(diǎn)E，與交于點(diǎn)F．（I）求證：⊥；

（II）求二面角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

 

【答案】

解一：（Ⅰ）∵A1A⊥底面ABCD，則是A1C在面ABCD的射影．

⊥BD．

∴A1C⊥BD．    …．6分

（Ⅱ）取EF的中點(diǎn)H，連結(jié)BH、CH，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052520170001564938/SYS201205252018153125546881_DA.files/image002.png">

,同理．

是二面角的平面角．

 又E、F分別是AC、B1C的中點(diǎn)     

,

≌,

在中由余弦定理有：,

所以二面角的平面角為．

解法二：（Ⅱ）以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則C（0,0,0）．

D（1,0,0）,B（0,1,0）,A1（1,1,1）,C1（0,0,1）,D1（1,0,1）

易證，BD1⊥面AB1              C．則＜,＞為所求二面角的平面角補(bǔ)角的大�。�

,,,

所以二面角的平面角為．                     … 13分

 

【解析】略

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在棱長(zhǎng)都相等的正三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AA1，B1C的中點(diǎn)．
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求證：B1C⊥平面BDE．

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如圖，一棱長(zhǎng)為2的正四面體O-ABC的頂點(diǎn)O在平面α內(nèi)，底面ABC平行于平面α，平面OBC與平面α的交線為l．
（1）當(dāng)平面OBC繞l順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與平面α第一次重合時(shí)，求平面OBC轉(zhuǎn)過(guò)角的正弦
值．
（2）在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，△OBC在平面α上的投影為等腰△OB1C1（如圖1），B1C1的中點(diǎn)為O1．當(dāng)AO⊥平面α?xí)r，問(wèn)在線段OA上是否存在一點(diǎn)P，使O1P⊥OBC？請(qǐng)說(shuō)明理由．

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（1）當(dāng)平面OBC繞l順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與平面α第一次重合時(shí)，求平面OBC轉(zhuǎn)過(guò)角的正弦
值．
（2）在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，△OBC在平面α上的投影為等腰△OB1C1（如圖1），B1C1的中點(diǎn)為O1．當(dāng)AO⊥平面α?xí)r，問(wèn)在線段OA上是否存在一點(diǎn)P，使O1P⊥OBC？請(qǐng)說(shuō)明理由．

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