Question

已知函數（a＞0且a為常數）．
（Ⅰ）當a=2時，求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若不等式對x∈[-，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意把a代入解析式使解析式具體，在對函數f（x）利用導數法則求其導函數，令導函數大于0，求出函數的增區(qū)間，令導函數小于0求出函數的減區(qū)間；
（II）由題意，此問題屬于函數的恒成立問題，轉化為函數在定義域內求最值，在令最小值還大于等于0即可．
解答：解：對函數f（x）求導得：f′（x）=e^ax（ax+2）（x-1）
（Ⅰ）當a=2時，f′（x）=e^2x（2x+2）（x-1）
令f′（x）＞0解得x＞1或x＜-1；
令f′（x）＜0解得-1＜x＜1；
所以，f（x）單調增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）；
f（x）單調減區(qū)間為（-1，1）
（Ⅱ）令f′（x）=0，即（ax+2）（x-1）=0，
解得或x=1
由a＞0時，得：當x∈（-∞，-）時，f^′（x）＞0，函數f（x）此區(qū)間單調遞增；
當時，f^′（x）＜0，函數f（x）在此區(qū)間單調遞減；
當x∈（1，+∞）時，f^′（x）＞0，函數f（x）在此區(qū)間單調遞增，

∵f（-）＞0，f（1）＜0，所以，函數在x=1時取得最小值
所以，當x∈R時，，
由題意，不等式對x∈R恒成立，
所以得，解得0＜a≤ln3．
點評：（I）此題考查了利用導函數求其定義域下的單調區(qū)間；
（II）此題考查了函數在x∈R下恒成立為題可以等價的轉化為函數在定義域下最小值還大于等于0成立，此處等價轉化的思想在高考中常用．