Question

如圖，已知拋物線M：x²=4py（p＞0）的準(zhǔn)線為l，N為l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，再分別過A，B兩點(diǎn)作l的垂線，垂足分別為C，D．
求證：直線AB必經(jīng)過y軸上的一個(gè)定點(diǎn)Q，并寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)點(diǎn)N，A，B的坐標(biāo)代入拋物線方程，求得，求導(dǎo)數(shù)后可知切線斜率進(jìn)而可得，化簡(jiǎn)整理得x₁²-2mx₁-4p²=0，同理可得x₂²-2mx₂-4p²=0，進(jìn)而可知x₁和x₂是關(guān)于x的方程x²-2mx-4p²=0的兩個(gè)根，進(jìn)而可求得這兩個(gè)根，直線AB的方程中，令x=0得整理后可知結(jié)果為定值，進(jìn)而可知直線AB必經(jīng)過y軸上的一個(gè)定點(diǎn)Q（0，p），即拋物線的焦點(diǎn)．
解答：證明：因?yàn)閽佄锞�的準(zhǔn)線l的方程為y=-p，
所以可設(shè)點(diǎn)N，A，B的坐標(biāo)分別為（m，-p），（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁²=4py₁，x₂²=4py₂，由x²=4py，得，
求導(dǎo)數(shù)得，于是，
即，
化簡(jiǎn)得x₁²-2mx₁-4p²=0，
同理可得x₂²-2mx₂-4p²=0，
所以x₁和x₂是關(guān)于x的方程x²-2mx-4p²=0
兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，且x₁x₂=-4p²．
在直線AB的方程中，
令x=0，
得═為定值，
所以直線AB必經(jīng)過y軸上的一個(gè)定點(diǎn)Q（0，p），即拋物線的焦點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析問題和運(yùn)算的能力．