Question

4．如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為DD₁、DB的中點．

（Ⅰ）求證：EF∥平面ABC₁D₁；
（Ⅱ）求三棱錐B₁-EBC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲證EF∥平面ABC₁D₁，只需在平面ABC₁D₁中找一直線與EF平行，根據(jù)E、F分別為DD₁、DB的中點，可得EF∥BD₁，最后根據(jù)線面平行的判定定理可得結(jié)論；
（Ⅱ）等體積轉(zhuǎn)化由棱錐的體積公式即可求得體積．

解答 （Ⅰ）證明：∵E、F分別為DD₁、DB的中點，
∴EF是三角形BD₁D的中位線，∴EF∥BD₁，
又EF?平面ABC₁D₁，BD₁?平面ABC₁D₁，
∴EF∥平面ABC₁D₁；
（Ⅱ）解：${V}_{{B}_{1}-EBC}$=${V}_{E-{B}_{1}BC}$=$\frac{1}{3}$×${S}_{△{B}_{1}BC}$×2=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$
∴三棱錐B₁-EBC的體積為$\frac{4}{3}$．

點評 本題主要考查了線面平行的判定定理、考查三棱錐的體積，同時考查了推理論證的能力和空間想象能力，屬于中檔題．