Question

14．求過(guò)A（0，0）、B（1，1）、C（4，2）三點(diǎn)的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo)．

Answer 1

分析 根據(jù)垂徑定理可知圓心在圓中弦的垂直平分線上，所以利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式分別找出弦OM₁和OM₂的中點(diǎn)坐標(biāo)和各自的斜率，然后根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率乘積為-1找出弦OM₁和OM₂的垂直平分線的斜率，即可寫(xiě)出兩垂直平分線的方程，然后聯(lián)立兩直線方程求出兩垂直平分線的交點(diǎn)坐標(biāo)即為圓心的坐標(biāo)，再然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心到O點(diǎn)的距離即為圓的半徑．

解答 解：AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），直線AB的斜率為1，所以垂直平分線的斜率為-1
則線段AB的垂直平分線方程為y-$\frac{1}{2}$=-（x-$\frac{1}{2}$）化簡(jiǎn)得x+y-1=0①；
同理得到AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），直線AC的斜率為$\frac{1}{2}$，所以垂直平分線的斜率為-2
則線段AC的垂直平分線方程為y-1=-2（x-2）化簡(jiǎn)得2x+y-5=0②．
聯(lián)立①②解得x=4，y=-3，則圓心坐標(biāo)為（4，-3），圓的半徑r=5
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-4）²+（y+3）²=25.1

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生會(huì)利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，掌握兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，會(huì)根據(jù)一點(diǎn)和斜率寫(xiě)出直線的方程，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)求值，會(huì)根據(jù)圓心坐標(biāo)與半徑寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道中檔題．