【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是一個菱形,三角形PAD是一個等腰三角形,∠BAD=∠PAD=,點E在線段PC上,且PE=3EC.
(1)求證:AD⊥PB;
(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求二面角E﹣AB﹣P的余弦值.
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【題目】中國已經成為全球最大的電商市場,但是實體店仍然是消費者接觸商品和品牌的重要渠道.某機構隨機抽取了年齡介于10歲到60歲的消費者200人,對他們的主要購物方式進行問卷調查.現對調查對象的年齡分布及主要購物方式進行統計,得到如下圖表:
主要購物方式 年齡階段 | 網絡平臺購物 | 實體店購物 | 總計 |
40歲以下 | 75 | ||
40歲或40歲以上 | 55 | ||
總計 |
(1)根據已知條件完成上述列聯表,并據此資料,能否在犯錯誤的概率不超過的前提下,認為消費者主要的購物方式與年齡有關?
(2)用分層抽樣的方法從通過網絡平臺購物的消費者中隨機抽取8人,然后再從這8名消費者中抽取5名進行答謝.設抽到的消費者中40歲以下的人數為,求的分布列和數學期望.
參考公式:,其中.
臨界值表:
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【題目】某企業(yè)生產一種機器的固定成本(即固定投入)為0.5萬元,但每生產100臺時,又需可變成本(即另增加投入)0.25萬元.市場對此商品的年需求量為500臺,銷售的收入(單位:萬元)函數為,其中是產品生產的數量(單位:百臺).
(1)求利潤關于產量的函數.
(2)年產量是多少時,企業(yè)所得的利潤最大?
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【題目】已知曲線的極坐標方程是,以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線的參數方程是 (為參數).
(1)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程;
(2)若直線與曲線相交于兩點,且,求直線的傾斜角的值.
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【題目】2017年5月27日當今世界圍棋排名第一的柯潔在與的人機大戰(zhàn)中中盤棄子認輸,至此柯潔與的三場比賽全部結束,柯潔三戰(zhàn)全負,這次人機大戰(zhàn)再次引發(fā)全民對圍棋的關注,某學校社團為調查學生學習圍棋的情況,隨機抽取了100名學生進行調查,根據調查結果繪制的學生日均學習圍棋時間的頻率分布直方圖(如圖所示),將日均學習圍棋時間不低于40分鐘的學生稱為“圍棋迷”.
(1)請根據已知條件完成下面列聯表,并據此資料你是否有95%的把握認為“圍棋迷”與性別有關?
非圍棋迷 | 圍棋迷 | 合計 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合計 |
(2)為了進一步了解“圍棋迷”的圍棋水平,從“圍棋迷”中按性別分層抽樣抽取5名學生組隊參加校際交流賽,首輪該校需派兩名學生出賽,若從5名學生中隨機抽取2人出賽,求2人恰好一男一女的概率.
參考數據:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】湖南省某自來水公司每個月(記為一個收費周期)對用戶收一次水費,收費標準如下:當每戶用水量不超過30噸時,按每噸2元收取;當該用戶用水量超過30噸但不超過50噸時,超出部分按每噸3元收;當該用戶用水量超過50噸時,超出部分按每噸4元收取。
(1)記某用戶在一個收費周期的用水量為噸,所繳水費為元,寫出關于的函數解析式;
(2)在某一個收費周期內,若甲、乙兩用戶所繳水費的和為214元,且甲、乙兩用戶用水量之比為3:2,試求出甲、乙兩用戶在該收費周期內各自的用水量.
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【題目】已知橢圓的離心率為,其左、右焦點分別為,點是坐標平面內一點,且, (為坐標原點).
(1)求橢圓的方程;
(2)過點且斜率為的動直線交橢圓于兩點,在軸上是否存在定點,使以為直徑的圓恒過該點?若存在,求出點的坐標,若不存在,說明理由.
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