Question

（2010•廣州模擬）已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和Sn=n2．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{

bn

an

}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)條件即可求出{a_n}的通項(xiàng)公式；再結(jié)合前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系即可求出{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先求出其通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法求和即可．

解答：解：（1）因?yàn)閿?shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=2n-1．
因?yàn)閿?shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和Sn=n2．
所以當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=S₁=1=2×1-1，
所以數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=2n-1．
（2）由（1）可知，

bn

an

=

2n-1

2n-1

．
設(shè)數(shù)列{

bn

an

}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，
則    Tn=1+

3

2

+

5

4

+

7

8

+…+

2n-3

2n-2

+

2n-1

2n-1

，

即   

1

2

Tn=

1

2

+

3

4

+

5

8

+

7

16

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，

得

1

2

Tn=1+1+

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n-2

-

2n-1

2n

=1+

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

-

2n-1

2n

=3-

2n+3

2n

，
所以Tn=6-

2n+3

2n-1

．
故數(shù)列{

bn

an

}的前n項(xiàng)和為6-

2n+3

2n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察數(shù)列的求和以及數(shù)列的通項(xiàng)．錯(cuò)位相減法求和適用于以等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組合而成的新數(shù)列．