Question

在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數(shù)，給出下面關于f（x）的判斷：
①f（x）是周期函數(shù) 
②f（x）關于直線x=1對稱；
③f（x）在[0，1]上是增函數(shù)；
④f（x）在[1，2]上是減函數(shù)；   
⑤f（2）=f（0）．
其中正確判斷的序號為（　�。�

A．①②

B．①②⑤

C．①②③④

D．①②③④⑤

Answer 1

分析：由f（x+1）=-f（x）可得f（x+2）=f（x），即可得周期T，可判斷①和⑤；
由f（-x）=f（x），f（x+1）=-f（x）可得f（1+x）=-f（-x），則可求f（x）圖象關對稱中心，又f（x）圖象關于y軸（x=0）對稱，故x=1也是圖象的一條對稱軸，故可判斷②；
由f（x）為偶函數(shù)且在[-1，0]上單增可得f（x）在[0，1]和[1，2]上的單調(diào)性，可判斷③和④．

解答：解：由f（x+1）=-f（x），
得f（x+2）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x），
即可得周期T=2，故①正確
由f（x）為偶函數(shù)可得f（-x）=f（x），
由f（x+1）=-f（x）可得f（1+x）=-f（-x），則f（x）圖象關于（

1

2

，0）對稱，
又f（x）圖象關于y軸（x=0）對稱，故x=1也是圖象的一條對稱軸，故②正確；
由f（x）為偶函數(shù)且在[-1，0]上單調(diào)遞增，
得f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，在[1，2]上是增函數(shù)，故③錯，④錯；
∵R上的偶函數(shù)f（x）的周期為2，∴f（2）=f（0）．故⑤正確．
故選B．

點評：本題考查函數(shù)的周期性，函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，函數(shù)奇偶性的應用，考查學生分析問題解決問題的能力，是基礎題．