Question

動圓D過定點A（0，2），圓心D在拋物線x²=4y上運動，MN為圓D在x軸上截得的弦．
（1）當圓心D在原點時，過拋物線的焦點F作直線l交圓D于B、C兩點，求△ABC的最大面積；
（2）當圓心D運動時，記|AM|=m，|AN|=n，求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)直線BC為y=kx+1，代入x²+y²=4得，（1+k²）x²+2kx-3=0，=．由此知當且僅當k=0時，△ABC的最大面積為．
（2）設(shè)圓心，則圓為．當y=0時，x=a±2，|MN|=4，令∠MAN=θ，由余弦定理，得16=m²+n²-2mncosθ，由此能求出的最大值．
解答：解：（1）設(shè)直線BC為y=kx+1，代入x²+y²=4得，（1+k²）x²+2kx-3=0，

=
=
=
=．
當且僅當k=0時，△ABC的最大面積為．
（2）設(shè)圓心，則圓為．
當y=0時，x=a±2，
∴|MN|=4，
令∠MAN=θ，
由余弦定理，得16=m²+n²-2mncosθ，
又由
=，
∴，
∴
=2，
當時取得最大值．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．