Question

已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，P（2，0）為定點(diǎn)．
（Ⅰ）若點(diǎn)P為拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若動圓M過點(diǎn)P，且圓心M在拋物線C上運(yùn)動，點(diǎn)A、B是圓M與y軸的兩交點(diǎn)，試推斷是否存在一條拋物線C，使|AB|為定值？若存在，求這個定值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用焦點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線的系數(shù)之間的關(guān)系即可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）先設(shè)出圓M的方程找到|AB|的長（用圓心M的坐標(biāo)來表示），在利用圓心M在拋物線C上運(yùn)動，把|AB|的長轉(zhuǎn)化為與拋物線系數(shù)有關(guān)的形式，即可求出找到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)拋物線方程為y²=2px（p≠0），則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

p

2

，0）．由已知，

p

2

=2，即p=4，故拋物線C的方程是y²=8x．
（Ⅱ）設(shè)圓心M（a，b）（a≥0），點(diǎn)A（0，y₁），B（0，y₂）．
因?yàn)閳AM過點(diǎn)P（2，0），則可設(shè)圓M的方程為（x-a）²+（y-b）²=（a-2）²+b²．令x=0，得y²-2by+4a-4=0．則y₁+y₂=2b，y₁•y₂=4a-4．
所以|AB|=

(y1-y2)2

=

(y1+y2)2-4y1•y2

=

4b2-16a+16

．
設(shè)拋物線C的方程為y²=mx（m≠0），因?yàn)閳A心M在拋物線C上，則b²=ma．
所以|AB|=

4ma-16a+16

=

4a(m-4)+16

．
由此可得，當(dāng)m=4時，|AB|=4為定值．故存在一條拋物線y²=4x，使|AB|為定值4．

點(diǎn)評：本題涉及到拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法問題．因?yàn)閽佄锞�的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，所以在設(shè)方程之前一定要先看焦點(diǎn)所在位置．