Question

11．已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=$\frac{n}{2}x+m$，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，m，n∈R．
（1）若n=2時(shí)方程f（x）=g（x）在[-1，1]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，求m的取值范圍；
（2）若T（x）=f（x）•g（x），且m=1-$\frac{n}{2}$，求T（x）在[-1，1]上的最大值；
（3）若m=-$\frac{15}{2}$，求使f（x）＞g（x）對(duì)?x∈R都成立的最大正整數(shù)n．

Answer 1

分析 （1）n=2時(shí)，方程f（x）=g（x）可化為m=e^x-2x；求導(dǎo)m′=e^x-2，從而得到函數(shù)的單調(diào)性及取值，從而求m的取值范圍；
（2）T（x）=f（x）g（x）=e^x（$\frac{n}{2}$x+1-$\frac{n}{2}$），求導(dǎo)e^x（$\frac{n}{2}$x+1），從而確定函數(shù)的最大值；
（3）由題意，f（x）=e^x，g（x）=$\frac{n}{2}$x-$\frac{15}{2}$，令F（x）=f（x）-g（x）=e^x-$\frac{n}{2}$x+$\frac{15}{2}$＞0恒成立；從而化為最值問(wèn)題．

解答 解：（1）當(dāng)n=2時(shí)，方程f（x）=g（x）可化為m=e^x-x，
設(shè)h（x）=e^x-x，
∴h′（x）=e^x-1，
∴當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，h′（x）＜0，函數(shù)m單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，h′（x）＞0；函數(shù)m單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（0）=1，m（-1）=$\frac{1}{e}$+1，m（1）=e-1，
∵方程f（x）=g（x）在[-1，1]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，
∴$\frac{1}{e}$＜m≤e-1，或m=1，
故m的取值范圍為（$\frac{1}{e}$+1，e-1]∪{1}．
（2）T（x）=f（x）g（x）
=e^x（$\frac{n}{2}$x+m）=e^x（$\frac{n}{2}$x+1-$\frac{n}{2}$）；
故T′（x）=e^x（$\frac{n}{2}$x+1）；
①當(dāng)n≥0時(shí)，x∈[-1，1]時(shí)，T'（x）＞0，
T（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，T（x）_max=T（1）=e；
②當(dāng)-1＜-$\frac{2}{n}$＜1，即-2＜n＜2時(shí)，x∈[-1，-$\frac{2}{n}$）時(shí)，T'（x）＞0，T（x）遞增；
x∈（-$\frac{n}{2}$，1]時(shí)，T'（x）＜0，T（x）遞減；
∴x=-$\frac{n}{2}$時(shí)T（x）取得極大值，也為最大值，T（x）_max=T（-$\frac{n}{2}$）=-$\frac{n}{2}$e${\;}^{-\frac{2}{n}}$；
③當(dāng)-$\frac{n}{2}$≥1，即-2≤n＜0時(shí)，x∈[-1，1]時(shí)，T'（x）≥0，T（x）遞增，
∴T（x）_max=T（1）=e；
綜上，當(dāng)n≥-2時(shí)，T（x）_max=e；當(dāng)n＜-2時(shí)，T（x）_max=-$\frac{n}{2}$e${\;}^{-\frac{2}{n}}$；
（3）由題意，f（x）=e^x，g（x）=$\frac{n}{2}$x-$\frac{15}{2}$；
∴F（x）=f（x）-g（x）=e^x-$\frac{n}{2}$x+$\frac{15}{2}$＞0恒成立；
∴F′（x）=e^x-$\frac{n}{2}$；
故F（x）在（-∞，ln$\frac{n}{2}$）上是減函數(shù)，
在（ln$\frac{n}{2}$，+∞）上是增函數(shù)；
故可化為F（ln$\frac{n}{2}$）＞0；
即$\frac{n}{2}$（1-ln$\frac{n}{2}$）+$\frac{15}{2}$＞0；
令G（n）=$\frac{n}{2}$（1-ln$\frac{n}{2}$）+$\frac{15}{2}$＞（1-ln）+；
故G′（n）=-$\frac{1}{2}$（ln$\frac{n}{2}$+$\frac{n}{2}$+1）＜0；
故G（n）是[1，+∞）上的減函數(shù)，
而G（2e²）=-e²+$\frac{15}{2}$＞0；
G（14）=7（1-ln7）+$\frac{15}{2}$＞0；
G（15）=7.5（1-ln7.5）+$\frac{15}{2}$＜0；
故最大正整數(shù)n為14．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，是一道綜合題．