A.選修4-1:幾何證明選講
如圖,直角△ABC中,∠B=90°,以BC為直徑的⊙O交AC于點D,點E是AB的中點.
求證:DE是⊙O的切線.
B.選修4-2:矩陣與變換
已知二階矩陣A有特征值-1及其對應的一個特征向量為
1
-4
,點P(2,-1)在矩陣A對應的變換下得到點P′(5,1),求矩陣A.
C.選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知直線l的極坐標方程為ρcos(θ-
π
4
)=
2
,曲線C的參數(shù)方程為
x=2cosα
y=sinα
(α為參數(shù)),求曲線C截直線l所得的弦長.
D.選修4-5:不等式選講
已知a,b,c都是正數(shù),且abc=8,求證:log2(2+a)+log2(2+b)+log2(2+c)≥6.
分析:A.連接OD,DB,由BC是⊙O的直徑,知∠ADB=∠CDB=90°,由此能夠推導出∠EDO=∠OBE=90°,從而證明DE是⊙O的切線.
B.設二階矩陣A=
ab
cd
,由題意,
ab
cd
1
-4
=(-1)
1
-4
,且
ab
cd
2
-1
=
5
1
,由此能求出矩陣A.
C.分別把ρcos(θ-
π
4
)=
2
和參數(shù)方程
x=2cosα
y=sinα
(α為參數(shù))化為直角坐標方程,然后聯(lián)立方程組解得兩曲線的交點,由此能求出弦長.
D.先利用基本不等式根據(jù)已知條件推導出(2+a)(2+b)(2+c)≥2
2a
•2
2b
•2
2c
=8
8abc
=64,再由對數(shù)性質(zhì)能夠證明log2(2+a)+log2(2+b)+log2(2+c)≥6.
解答:【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做兩題,每小題(10分),共計(20分).
A.選修4-1:幾何證明選講
證:連接OD,DB
∵BC是⊙O的直徑∴∠ADB=∠CDB=90°…(2分)
∵E是AB的中點∴DE=
1
2
AB=EB∴∠1=∠2
∵OD=OB,∴∠3=∠4…(8分)
∴∠1+∠3=∠2+∠4.即∠EDO=∠OBE=90°
∴DE是⊙O的切線.…(10分)

B.選修4-2:矩陣與變換
解:設二階矩陣A=
ab
cd

由題意,
ab
cd
1
-4
=(-1)
1
-4
,且
ab
cd
2
-1
=
5
1
…(4分)
a-4b=-1
2a-b=5
c-4d=4
2c-d=1
,…(8分)
解得
a=3
b=1
c=0
d=-1
,∴A=
31
0-1
.…(10分)
C.選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
解:由ρcos(θ-
π
4
)=
2
,化為直角坐標方程x+y-2=0,①…(4分)
參數(shù)方程
x=2cosα
y=sinα
(α為參數(shù)),化為直角坐標方程
x2
4
+y2
=1,②…(8分)
聯(lián)立①②得
x+y-2=0
x2
4
+y2=1
,解得兩曲線的交點為(2,0),(
6
5
4
5
)
,
所以所求的弦長=
(2-
6
5
)
2
+(0-
4
5
)
2
=
4
5
2
.…(10分)
D.選修4-5:不等式選講
證明:∵a,b,c都是正數(shù),
∴2+a≥2
2a
,2+b≥2
2b
,2+c≥2
2c
,…(4分)
又∵abc=8,
∴(2+a)(2+b)(2+c)≥2
2a
•2
2b
•2
2c
=8
8abc
=64,…(8分)
(當且僅當a=b=c=2時等號成立)…(9分)
故log2(2+a)+log2(2+b)+log2(2+c)
=log2[(2+a)(2+b)(2+c)]
≥log264=6.…(10分)
點評:A考查與圓有關的比例線段,B考查矩陣與變換,C考查極坐標與參數(shù)方程,D考查不等式的證明,都是中檔題.解題時要認真審題,仔細解答,注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)A(選修4-1:幾何證明選講)
如圖,AB是⊙O的直徑,C,F(xiàn)是⊙O上的兩點,OC⊥AB,過點F作⊙O的切線FD交AB的延長線于點D,連接CF交AB于點E.
求證:DE2=DB•DA.
B(選修4-2:矩陣與變換)
求矩陣
21
12
的特征值及對應的特征向量.
C(選修4-4:坐標系與參數(shù)方程)
已知曲線C的極坐標方程是ρ=2sinθ,直線l的參數(shù)方程是
x=-
3
5
t+2
y=
4
5
t
(t為參數(shù)).
(Ⅰ)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程;
(Ⅱ)設直線l與x軸的交點是M,N是曲線C上一動點,求MN的最大值.
D(選修4-5:不等式選講)
已知m>0,a,b∈R,求證:(
a+mb
1+m
)2
a2+mb2
1+m

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

選做題:在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,共20分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
A.選修4-1:幾何證明選講
如圖,PA切⊙O于點A,D為PA的中點,過點D引割線交⊙O于B、C兩點.求證:∠DPB=∠DCP.
B.選修4-2:矩陣與變換
設M=
.
10
02
.
,N=
.
1
2
0
01
.
,試求曲線y=sinx在矩陣MN變換下的曲線方程.
C.選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中,圓C的極坐標方程為ρ=
2
cos(θ+
π
4
)
,以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系,直線l的參數(shù)方程為
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
(t為參數(shù)),求直線l被圓C所截得的弦長.
D.選修4-5:不等式選講
解不等式:|2x+1|-|x-4|<2.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

A)選修4-1:幾何證明選講
如圖,⊙O的割線PAB交⊙O于A,B兩點,割線PCD經(jīng)過圓心交⊙O于C,D兩點,若PA=2,AB=4,PO=5,則⊙O的半徑長為
13
13


(B)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
參數(shù)方程
x=
1
2
(et+e-t)
y=
1
2
(et-e-t)
中當t為參數(shù)時,化為普通方程為
x2-y2=1(x≥1)
x2-y2=1(x≥1)

(C)選修4-5:不等式選講
不等式|2-x|+|x+1|≤a對于任意x∈[0,5]恒成立的實數(shù)a的集合為
{a|a≥9}
{a|a≥9}

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

選做題在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,共計20分.
請在答卷紙指定區(qū)域內(nèi)作答.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
A.選修4-1:幾何證明選講如圖,AD是∠BAC的平分線,⊙O過點A且與BC邊相切于點D,與AB,AC分別交于E,F(xiàn),求證:EF∥BC.
B.選修4-2:矩陣與變換
已知a,b∈R,若矩陣M=[
-1
b
a
3
]所對應的變換把直線l:2x-y=3變換為自身,求a,b的值.
C.選修4-4:坐標系與參數(shù)方程將參數(shù)方程
x=2(t+
1
t
)
y=4(t-
1
t
)
t為參數(shù))化為普通方程.
D.選修4-5:已知a,b是正數(shù),求證(a+
1
b
)(2b+
1
2a
)≥92.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

從A,B,C,D四個中選做2個A.選修4-1(幾何證明選講)
如圖,AB是半圓的直徑,C是AB延長線上一點,CD切半圓于點D,CD=2,DE⊥AB,垂足為E,且E是OB的中點,求BC的長.
B.選修4-2(矩陣與變換)
將曲線xy=1繞坐標原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°,求所得曲線的方程.
C.選修4-4(坐標系與參數(shù)方程)
求直線
x=1+2t
y=1-2t
(t為參數(shù))被圓
x=3cosa
y=3sina
(α為參數(shù))截得的弦長.
D.選修4-5(不等式選講)
已知x,y均為正數(shù),且x>y,求證:2x+
1
x2-2xy+y2
≥2y+3

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