Question

若a，b，c∈R₊，且a²+b²+c²=1，求證：-

1

2

≤ab+bc+ca≤1．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：利用基本不等式的性質(zhì)及ab+bc+ac+

1

2

=ab+bc+ac+

a2+b2+c2

2

=

1

2

(a+b+c)2≥0，即可得出．

解答： 證：由a，b，c∈R₊，
則由基本不等式得：ab≤

a2+b2

2

，bc≤

b2+c2

2

，ac≤

a2+c2

2

．
∴ab+bc+ac≤a²+b²+c²．
∵a²+b²+c²=1，ab+bc+ac≤1．
∵ab+bc+ac+

1

2

=ab+bc+ac+

a2+b2+c2

2

=

1

2

(a+b+c)2≥0，
∴ab+bc+ac≥-

1

2

．
綜上可得：-

1

2

≤ab+bc+ca≤1．

點評：本題考查了基本不等式的性質(zhì)、配方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．