Question

某企業(yè)2003年的純利潤為500萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不能進行技術(shù)改造，預(yù)測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進行技術(shù)改造，預(yù)測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤為500(1+)萬元（n為正整數(shù)）.(1)設(shè)從今年起的前n年，若該企業(yè)不進行技術(shù)改造的累計純利潤為A _n萬元，進行技術(shù)改造后的累計純利潤為B _n萬元（需扣除技術(shù)改造資金），求A _n、B _n的表達式；(2)依上述預(yù)測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年.進行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤？?

Answer 1

分析： (1)A _n、B _n是年數(shù)n的函數(shù)，又由于A _n、B _n都是“累計純利潤”，∴要分別進行數(shù)列求和.

(2)實際上就是求B _n－A _n＞0時n的最小值.

解： (1)依題設(shè)，A _n=(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n－10n ²；

B _n=500[(1+)(1+)+…+(1+)]－600=500n－－100.

(2)B _n－A _n=(500n－－100)－(490n－10n ²)=10n²+10n－－100=10[n(n+1)－-10].

∵函數(shù)y=n(n+1)－－10在（0，+∞）上為增函數(shù)，?

當1≤n≤3時，n(n+1)－－10≤12－－10＜0；

　　當n≥4時，n(n+1)－－10≥20－－10＞0.?

∴僅當n≥4時，B _n＞A _n.

答：至少經(jīng)過4年，該企業(yè)進行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進行技術(shù)發(fā)行的累計純利潤.