Question

（理）2011年3月11日，日本地震引起了核泄漏，現(xiàn)有A組、B組兩組反應堆，據(jù)有關技術部門分析，A組中的兩個反應堆爆炸的概率都是

2

3

，B組中兩個反應堆爆炸的概率都是

1

2

，假設這四個反應堆是否爆炸互不影響．
（1）求A組、B組中各一個反應堆爆炸的概率．
（2）求A、B兩組反應堆爆炸的個數(shù) ξ 的分布列與期望．

Answer 1

分析：（1）設A_k表示A組中k個反應堆爆炸，則k=0，1，2；B_i表示B組中i個反應堆爆炸，則i=0，1，2．由題意知P（A_k）=

C

k 2

(

2

3

)k(

1

3

)2-k，P（B_i）=

C

1 2

(

1

2

)i(

1

2

)2-i，由此能求出A組、B組中各有一個反應堆爆炸的概率．
（2）由題設知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（1）設A_k表示A組中k個反應堆爆炸，則k=0，1，2；
B_i表示B組中i個反應堆爆炸，則i=0，1，2．
由題意知P（A_k）=

C

k 2

(

2

3

)k(

1

3

)2-k，P（B_i）=

C

1 2

(

1

2

)i(

1

2

)2-i，
∴P（A₀）=

C

0 2

(

2

3

)0(

1

3

)2=

1

9

，
P（A₁）=

C

1 2

(

2

3

)(

1

3

)=

4

9

，
P（A₂）=

C

2 2

(

2

3

)2=

4

9

．
P（B₀）=

C

0 2

(

1

2

)2=

1

4

，
P（B₁）=

C

1 2

(

1

2

)(

1

2

)=

1

2

，
P（B₂）=

C

2 2

(

1

2

)2=

1

4

．
A組、B組中各有一個反應堆爆炸的概率為：
P（A₁•B₁）=P（A₁）•P（B₁）=

4

9

×

1

2

=

2

9

．
（2）由題設知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4，
則P（ξ=0）=P（A₀•B₀）=

1

9

×

1

4

=

1

36

，
P（ξ=1）=P（A₀•B₁）+P（A₁•B₀）=

1

9

×

1

2

+

4

9

×

1

4

=

1

6

，
P（ξ=2）=P（A₀•B₂）+P（A₁•B₁）+P（A₂•B₀）
=

1

9

×

1

4

+

4

9

×

1

2

+

4

9

×

1

4

=

13

36

，
P（ξ=3）=P（A₁•B₂）+P（A₂•B₁）=

4

9

×

1

4

+

4

9

×

1

2

=

1

3

，
P（ξ=4）=P（A₂•B₂）=

4

9

×

1

4

=

1

9

．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	1 36	1 6	13 36	1 3	1 9

∴Eξ=0×

1

36

+1×

1

36

+2×

13

36

+3×

1

3

+4×

1

9

=

7

3

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．解題時要認真審題，仔細解答，注意排列組合和概率知識的靈活運用．