(理)2011年3月11日,日本地震引起了核泄漏,現(xiàn)有A組、B組兩組反應堆,據(jù)有關技術部門分析,A組中的兩個反應堆爆炸的概率都是
2
3
,B組中兩個反應堆爆炸的概率都是
1
2
,假設這四個反應堆是否爆炸互不影響.
(1)求A組、B組中各一個反應堆爆炸的概率.
(2)求A、B兩組反應堆爆炸的個數(shù) ξ 的分布列與期望.
分析:(1)設Ak表示A組中k個反應堆爆炸,則k=0,1,2;Bi表示B組中i個反應堆爆炸,則i=0,1,2.由題意知P(Ak)=
C
k
2
(
2
3
)k(
1
3
)2-k
,P(Bi)=
C
1
2
(
1
2
)i(
1
2
)2-i
,由此能求出A組、B組中各有一個反應堆爆炸的概率.
(2)由題設知ξ的所有可能取值為0,1,2,3,4,分別求出P(ξ=0),P(ξ=1),P(ξ=2),P(ξ=3),P(ξ=4),由此能求出ξ的分布列和Eξ.
解答:解:(1)設Ak表示A組中k個反應堆爆炸,則k=0,1,2;
Bi表示B組中i個反應堆爆炸,則i=0,1,2.
由題意知P(Ak)=
C
k
2
(
2
3
)k(
1
3
)2-k
,P(Bi)=
C
1
2
(
1
2
)i(
1
2
)2-i
,
∴P(A0)=
C
0
2
(
2
3
)0(
1
3
)2
=
1
9

P(A1)=
C
1
2
(
2
3
)(
1
3
)
=
4
9
,
P(A2)=
C
2
2
(
2
3
)2
=
4
9

P(B0)=
C
0
2
(
1
2
)2
=
1
4
,
P(B1)=
C
1
2
(
1
2
)(
1
2
)
=
1
2

P(B2)=
C
2
2
(
1
2
)2
=
1
4

A組、B組中各有一個反應堆爆炸的概率為:
P(A1•B1)=P(A1)•P(B1)=
4
9
×
1
2
=
2
9

(2)由題設知ξ的所有可能取值為0,1,2,3,4,
則P(ξ=0)=P(A0•B0)=
1
9
×
1
4
=
1
36
,
P(ξ=1)=P(A0•B1)+P(A1•B0)=
1
9
×
1
2
+
4
9
×
1
4
=
1
6

P(ξ=2)=P(A0•B2)+P(A1•B1)+P(A2•B0
=
1
9
×
1
4
+
4
9
×
1
2
+
4
9
×
1
4
=
13
36
,
P(ξ=3)=P(A1•B2)+P(A2•B1)=
4
9
×
1
4
+
4
9
×
1
2
=
1
3

P(ξ=4)=P(A2•B2)=
4
9
×
1
4
=
1
9

∴ξ的分布列為:
 ξ  0  1  2  3  4
 P  
1
36
 
1
6
 
13
36
 
1
3
 
1
9
∴Eξ=0×
1
36
+1×
1
36
+2×
13
36
+3×
1
3
+4×
1
9
=
7
3
點評:本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望,是中檔題,在歷年高考中都是必考題型.解題時要認真審題,仔細解答,注意排列組合和概率知識的靈活運用.
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