Question

已知f（x）=2cos

x

2

（

3

sin

x

2

+cos

x

2

）-1，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）設(shè)α、β∈（0，

π

2

），f（α）=2，f（β）=

8

5

，求f（α+β）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）運(yùn)用二倍角公式的正弦和余弦公式，注意逆用，再由兩角和的正弦公式，即可化簡(jiǎn)f（x），從而得到最小正周期；
（2）由α、β∈（0，

π

2

），則

π

6

＜α+

π

6

＜

2π

3

，

π

6

＜β+

π

6

＜

2π

3

，即可得到α=

π

3

，cos（β+

π

6

）=

3

5

，則f（α+β）=2sin（α+β+

π

6

）=2sin（

π

2

+β）=2cosβ=2cos[（β+

π

6

）-

π

6

]再由兩角差的余弦公式，即可得到答案．

解答： 解：（1）f（x）=2cos

x

2

（

3

sin

x

2

+cos

x

2

）-1
=

3

（2sin

x

2

cos

x

2

）+（2cos²

x

2

-1）
=

3

sinx+cosx=2sin（x+

π

6

）
則f（x）的最小正周期T=2π；
（2）因?yàn)?sin（α+

π

6

）=2，即sin（α+

π

6

）=1，
由于α∈（0，

π

2

），則

π

6

＜α+

π

6

＜

2π

3

，
所以α+

π

6

=

π

2

，即α=

π

3

，
又2sin（β+

π

6

）=

8

5

，即sin（β+

π

6

）=

4

5

，
由于β∈（0，

π

2

），則

π

6

＜β+

π

6

＜

2π

3

，
因?yàn)?span id="xlftsvj" class="MathJye">

4

5

＜

3

2

，所以則

π

6

＜β+

π

6

＜

π

2

，
則cos（β+

π

6

）=

3

5

，
所以f（α+β）=2sin（α+β+

π

6

）=2sin（

π

2

+β），
=2cosβ=2cos[（β+

π

6

）-

π

6

]=2cos（β+

π

6

）cos

π

6

+2sin（β+

π

6

）sin

π

6

=2×

3

5

×

3

2

+2×

4

5

×

1

2

=

4+3 3

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，考查二倍角公式和兩角和差的正弦和余弦公式，注意角的變換和角的范圍，同時(shí)考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．